Diferencia entre revisiones de «Final 26/06/2017 (Análisis II)»
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== Ejercicio 3 == | == Ejercicio 3 == | ||
Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable tal que <math>g(x,1)=4 \ \forall \ x \in \mathbb{R}, g(0,y)=4 \ \forall \ y \in \mathbb{R}, g(x,x+1)=x^2+4 \ \forall \ x \in \mathbb{R} </math>. | ||
Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | Sea <math>f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> con | ||
<math>f(x,y)= | <br><br><math>f(x,y)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
\dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+y^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | \dfrac{g(x,y) - 4}{ \sqrt{x^2+(y-1)^2} } & \text{ si }(x,y) \neq (0,1) \\ | ||
0 & \text{ si } (x,y)=(0,1) | 0 & \text{ si } (x,y)=(0,1) | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>. | </math>. | ||
Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | <br><br>Probar que <math>f</math> es continua pero no diferenciable. | ||
== Ejercicio 4 == | == Ejercicio 4 == | ||
Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | Sea <math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> continua tal que <math>\int_2^4 g(t) dt = 2</math>. | ||
Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | <br>Sea <math>f(x,y) = \frac{g(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}</math> y sea <math>D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ / \ x,y \geq 0\ ; \ 4 \leq x^2+y^2 \leq 16 \ ; \ x \leq y \leq \sqrt{3}x\}</math>. | ||
Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> | <br>Calcular <math>\int_D f(x,y) dx dy</math> |
Revisión actual - 14:39 7 ago 2017
Ejercicio 1[editar]
Sea una función diferenciable en un punto y sea . Probar que existe la derivada direccional y es igual a . Deducir que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento.
Ejercicio 2[editar]
Sea una función diferenciable en . Probar que para todos existe un en el segmento que une con tal que .
Ejercicio 3[editar]
Sea diferenciable tal que .
Sea con
.
Probar que es continua pero no diferenciable.
Ejercicio 4[editar]
Sea continua tal que .
Sea y sea .
Calcular