Revisión actual - 21:00 3 dic 2014
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Ejercicio 3[editar]
Calcular la siguiente integral asegurando que el error cometido sea menor aque
.
(a) ![{\displaystyle \int _{-1}^{1}|e^{x^{3}}-1|dx}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a78c2574ae5c34e79c9f21ea3ded2f5b84b92ca)
Justificar el procedimiento y el método elegido.
NOTA: Aca tiene que ir la parte de sergio, de trapecios y de que da 53.
Calculemos en cuantas partes deberiamos partir por simpson compuesto para obtener un error menor a
:
Primero saquemos el modulo de la funcion:
![{\displaystyle e^{x^{3}}-1\geq 0\Longleftrightarrow e^{x^{3}}\geq 1}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df2f50e8d7f5b6be9759be9f3906554432b288a)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow x\geq 0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83655ec9fed07fd8989716db185bb38878f780d)
Entonces partimos nuestra funcion (que ahora llamamos
):
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{x^{3}}-1&si\ x\geq 0\\1-e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98a430376cb955ff37055b1777a814a84004988)
Y ahora calculamos las derivadas para poder calcular el error de Simpson:
![{\displaystyle f'(x)={\begin{cases}3x^{2}e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-3x^{2}e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec75c64b86ce73c077da1cb3d8af9973ee45b4d)
![{\displaystyle f''(x)={\begin{cases}9x^{4}e^{x^{3}}+6xe^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-9x^{4}e^{x^{3}}-6xe^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f49d304502a3c5b971554ab25bc418c30b3f6d)
![{\displaystyle f^{(3)}(x)={\begin{cases}27x^{6}e^{x^{3}}+54x^{3}e^{x^{3}}+6e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-27x^{6}e^{x^{3}}-54x^{3}e^{x^{3}}-6e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f7153acdebe82326a52668e1f1ec9f95692efb)
![{\displaystyle f^{(4)}(x)={\begin{cases}81x^{8}e^{x^{3}}+324x^{5}e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-81x^{8}e^{x^{3}}-324x^{5}e^{x^{3}}-180x^{2}e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d83457cc17fe886ecbe7e69f95ff2ad75a8157)
Como la 3era derivada no es continua en el 0, no creo que se pueda usar Simpson, asi que lo partimos en 2 pedazos y aplicamos Simpson en cada uno.
El error de simpson es:
En nuestro caso:
![{\displaystyle E_{-1\ a\ 0}(n)={\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d199a53d7be48ea25360a8c0442b473da4162)
![{\displaystyle E_{0\ a\ 1}(n)={\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08e15201936204f81909d95a9ea1492c247edc7)
Es igual en los dos intervalos, por lo que tomamos que nuestro error total va a ser el doble de eso.
![{\displaystyle E(n)=E_{-1\ a\ 0}(n)+E_{0\ a\ 1}(n)=2{\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ee8a263e8f64a783c8d763585042edfe9dd005)
Ahora tratemos de acotar la derivada cuarta.
![{\displaystyle x\in [-1,1]\Longrightarrow |81x^{8}e^{x^{3}}+324x^{5}e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}|\leq 81|x^{8}|e^{x^{3}}+324|x^{5}|e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519495897713344395b235b406ea02de777ec0de)
![{\displaystyle \Longrightarrow 81e+324e+180e=585e}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15a31b37f18a241b9006c21d9fb937917397f2f)
Entonces ahora tratamos de acotar el error:
![{\displaystyle E(n)=E_{-1a0}(n)+E_{0a1}(n)=2{\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )\leq {\frac {1}{90}}{\frac {1}{n}}^{4}585e}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983c8b82f55242e15dc33aa6208b6298fff70c3d)
Y queremos que esto sea menor que
.
(Simpson)
Ahora aplicamos la regla:
![{\displaystyle h=(1-(-1))/8=1/4}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff79edc4842723d12670d24cce721ab136df1a0)
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\Big [}(f(-1)+4f(-3/4)+f(-1/2))+(f(-1/4)+4f(0)+f(1/4))+}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0988d5c44c31e9eda4964d16e8cf30e45282476b)
![{\displaystyle (f(1/2)+4f(3/4)+f(1)){\Big ]}\approx 0,75}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec428a3d6edf45964dd2ebfaac45905c25888135)