Edición de «Final 28/02/2020 (Análisis II)»

== Ejercicio 1 ==

Sea <math>f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math>  de clase <math> C^1</math> / f(t*P) = t*f(P) <math>\ \forall \ t\ \in\ \mathbb{R}\ y\ \forall P \in \mathbb{R}^2 </math>

a) Calcular f(0,0).

b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0).

c) Probar que f es una transformación lineal.

== Ejercicio 2 ==

Sea <math>f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}</math> una función de clase <math>C^2</math> / su polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de q = (1,2,3) es\ <math>P(x,y,z)= x^2 + y*z</math>

Notar que no esta descrito en potencias de (x-1),(y-2) y (z-3) como habitualmente se lo da.

Si c(t) es la curva dada por c(t) = q + t*(a,b,c) y <math>g(t) = f(c(t))</math>, calcule g'(0) y g"(0) en términos de a,b,c.

== Ejercicio 3 ==

Sea <math>g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb {R}</math> la función <math>g(x,y)= e^((2x+y)(3x+2y)-1)</math> y notemos por S la curva de nivel

S = {(x,y) \in <math> \mathbb{R}^2</math> : g(x,y)=1}

a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P.

b) Probar que la función f(x,y)= 2x+y no alcanza ni max ni min en S.

c) ¿Es S acotada?.

== Ejercicio 4 ==

Sea D = [0,1]x[0,l] y  <math>f:D \rightarrow \mathbb {R}</math> una función integrable / f(x,y) = -f(x,y).
 
<math> Muestre que \int(\int_{D} f) </math> = 0