Final 28/02/2020 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^1} / Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t*P) = t*f(P)} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ \forall \ t\ \in\ \mathbb{R}\ y\ \forall P \in \mathbb{R}^2 }

a) Calcular f(0,0).

b) Calcular las derivadas direccionales de f en (0,0).

c) Probar que f es una transformación lineal.

Ejercicio 2

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb {R}} una función de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^2} / su polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de q = (1,2,3) es\ Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(x,y,z)= x^2 + y*z}

Notar que no esta descrito en potencias de (x-1),(y-2) y (z-3) como habitualmente se lo da.

Si c(t) es la curva dada por c(t) = q + t*(a,b,c) y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(t) = f(c(t))} , calcule g'(0) y g"(0) en términos de a,b,c.

Ejercicio 3

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb {R}} la función Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x,y)= e^{(2x+y)(3x+2y)-1}} y notemos por S la curva de nivel

S = {(x,y) \in Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^2}  : g(x,y)=1}

a) Encontrar todos los puntos de P \in S para los cuales es posible despejar la variable y en función de la variable x alrededor de P.

b) Probar que la función f(x,y)= 2x+y no alcanza ni max ni min en S.

c) ¿Es S acotada?.

Ejercicio 4

Sea D = [0,1] x [0,1] y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:D \rightarrow \mathbb {R}} una función integrable /Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y) = -f(y,x)} .

Muestre que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \int_{D} f } = 0.

(( Éxitos a los que rinden ^.^ ))