Sistemas de inecuaciones lineales (Métodos Numéricos)

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El problema[editar]

Se desea hallar una solución de un sistema de ecuaciones/inecuaciones Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (=, \leq o \geq)} .

La idea[editar]

Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_i(x) \geq b_i \Longleftrightarrow -f_i(x) \leq -b_i} .
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_i(x) = b_i \Longleftrightarrow (f_i(x) \leq b_i \and f_i(x) \geq b_i) \Longleftrightarrow (f_i(x) \leq b_i \and -f_i(x) \leq -b_i) } .
De esta forma llevamos cualquier sistema de ecuaciones/inecuaciones Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (=, \leq o \geq)} a uno de la forma Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ax \leq b} con Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^m} .

Problemas Equivalentes[editar]

Solucionar Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{(1)}x^{(1)} \leq b^{(1)} \and x^{(1)} \geq 0} es equivalente a solucionar nuestro problema:
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longrightarrow} :
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ax \leq b } Como todo numero real se puede expresar como la substracción de un par de numeros positivos, tomamos Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^+, x^- \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{m} \ x = x^+ - x^-} . Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Ax \leq b \Longleftrightarrow A(x^+ - x^-) \leq b \, \and \, (x^+ \geq 0 \, \and \, x^- \geq 0) \Longleftrightarrow Ax^+ - Ax^-) \leq b \, \and \, (x^+ \geq 0 \, \and \, x^- \geq 0) }
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow Ax^+ + (-A)x^-) \leq b \, \and \, (x^+ \geq 0 \, \and \, x^- \geq 0) \Longleftrightarrow \begin{bmatrix} A \mid -A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^+ \\ x^- \\ \end{bmatrix} \leq b \, \and \, \begin{bmatrix} x^+ \\ x^- \\ \end{bmatrix} \geq 0 }


Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftarrow} :
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{(1)}x^{(1)} \leq b^{(1)} \and x^{(1)} \geq 0 \Longleftrightarrow A^{(1)}x^{(1)} \leq b^{(1)} \and -x^{(1)} \leq 0 }
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow A^{(1)}x^{(1)} \leq b^{(1)} \and -Ix^{(1)} \leq 0 \Longleftrightarrow \begin{bmatrix} A^{(1)} \mid -I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{(1)} \\ x^{(1)} \\ \end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix} b^{(1)} \\ 0 \\ \end{bmatrix} }


Y solucionar Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{(1)}x^{(1)} \leq b^{(1)} \, \and \, x^{(1)} \geq 0} es equivalente a solucionar Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{(2)}x^{(2)} = b^{(2)} \, \and \, x^{(2)} \geq 0} :
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longrightarrow} :
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^{(2)}x^{(2)} = b^{(2)} \, \and \, x^{(2)} \geq 0 \Longleftrightarrow A^{(2)}x^{(2)} \leq b^{(2)} \, \and \, A^{(2)}x^{(2)} \geq b^{(2)} \, \and \, x^{(2)} \geq 0 }
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow A^{(2)}x^{(2)} \leq b^{(2)} \, \and \, -A^{(2)}x^{(2)} \leq -b^{(2)} \, \and \, x^{(2)} \geq 0 }
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{bmatrix} A^{(2)} \\ -A^{(2)} \end{bmatrix} x^{(2)} \leq \begin{bmatrix} b^{(2)} \\ -b^{(2)} \\ \end{bmatrix} }
Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftarrow} :