Segundo Parcial 07/07/2006 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 3

Calcular la siguiente integral asegurando que el error cometido sea menor aque Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{-2}} .
(a) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{-1}^{1} | e^{x^3} - 1 | dx }
Justificar el procedimiento y el método elegido.

NOTA: Aca tiene que ir la parte de sergio, de trapecios y de que da 53.

Calculemos en cuantas partes deberiamos partir por simpson compuesto para obtener un error menor a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{-2}} :
Primero saquemos el modulo de la funcion:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{x^3} - 1 \geq 0 \Longleftrightarrow e^{x^3} \geq 1 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x^3 \geq log 1 } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x^3 \geq 0 } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq \sqrt[3]{0} } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \geq 0 }
Entonces partimos nuestra funcion (que ahora llamamos Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)} ): Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} e^{x^3} - 1 & si \ x \geq 0 \\ 1 - e^{x^3} & si \ x < 0 \\ \end{cases} }
Y ahora calculamos las derivadas para poder calcular el error de Simpson:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x) = \begin{cases} 3x^2 e^{x^3} & si \ x \geq 0 \\ -3x^2 e^{x^3} & si \ x < 0 \\ \end{cases} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f''(x) = \begin{cases} 9x^4 e^{x^3} + 6x e^{x^3} & si \ x \geq 0 \\ -9x^4 e^{x^3} - 6x e^{x^3} & si \ x < 0 \\ \end{cases} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f^{(3)}(x) = \begin{cases} 27x^6 e^{x^3} + 54x^3 e^{x^3} + 6e^{x^3} & si \ x \geq 0 \\ -27x^6 e^{x^3} - 54x^3 e^{x^3} - 6e^{x^3} & si \ x < 0 \\ \end{cases} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f^{(4)}(x) = \begin{cases} 81x^8 e^{x^3} + 324x^5 e^{x^3} + 180x^2 e^{x^3} & si \ x \geq 0 \\ -81x^8 e^{x^3} - 324x^5 e^{x^3} - 180x^2 e^{x^3} & si \ x < 0 \\ \end{cases} }
Como la 3era derivada no es continua en el 0, no creo que se pueda usar Simpson, asi que lo partimos en 2 pedazos y aplicamos Simpson en cada uno.
El error de simpson es:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(a, b, n, f) = \frac{(b - a)}{180} h^4 f^{(4)}(\xi)} En nuestro caso:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{-1 \ a \ 0}(n) = \frac{1}{180} \frac{1}{n}^4 f^{(4)}(\xi)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{0 \ a \ 1}(n) = \frac{1}{180} \frac{1}{n}^4 f^{(4)}(\xi)}
Es igual en los dos intervalos, por lo que tomamos que nuestro error total va a ser el doble de eso.
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(n) = E_{-1 \ a \ 0}(n) + E_{0 \ a \ 1}(n) = 2 \frac{1}{180} \frac{1}{n}^4 f^{(4)}(\xi)}
Ahora tratemos de acotar la derivada cuarta.
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in [-1, 1] \Longrightarrow |81x^8 e^{x^3} + 324x^5 e^{x^3} + 180x^2 e^{x^3}| \leq 81|x^8| e^{x^3} + 324|x^5| e^{x^3} + 180x^2 e^{x^3} }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longrightarrow 81 e + 324 e + 180 e = 585 e}
Entonces ahora tratamos de acotar el error:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(n) = E_{-1 a 0}(n) + E_{0 a 1}(n) = 2 \frac{1}{180} \frac{1}{n}^4 f^{(4)}(\xi) \leq \frac{1}{90} \frac{1}{n}^4 585 e}
Y queremos que esto sea menor que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10^{-2}} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 \frac{1}{180} \frac{1}{n}^4 585 e \leq 10^{-2}} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 585 e \leq n^4 90 . 10^{-2}} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{585 e}{90 . 10^{-2}} \leq n^4} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sqrt[4]{\frac{585 e}{90 . 10^{-2}}} \leq n} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sqrt[4]{\frac{585 e}{90 . 10^{-2}}} \leq n} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 6,483 \leq n} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 7 \leq n \rightarrow 8} (Simpson)
Ahora aplicamos la regla:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = (1-(-1))/8 = 1/4}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{4}\Big[ ( f(-1)+4f(-3/4)+f(-1/2) ) + ( f(-1/4)+4f(0)+f(1/4) ) + }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( f(1/2)+4f(3/4)+f(1) ) \Big] \approx 0,75}