Final 15/12/2017 (Análisis II)

Ejercicio 1

Demostrar que $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ es continua en $P$ si y solo si para toda $\{P_{k}\}$ tal que $P_{k}\rightarrow P$ vale que $lim_{k\rightarrow \infty }f(P_{k})=f(P)$

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función $C^{1}$. Se sabe que $(1,0)$ no es punto critico de $f$ pero es extremo local de $f$ restringida al dominio $D$.

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:ln({\frac {1}{2}}x^{2}+3y^{2}+{\frac {1}{2}})=0\}$

Determinar todas las direcciones $V\in \mathbb {R} ^{2}$ con $||V||=1$ tal que ${\frac {\partial f}{\partial V}}(1,0)=0$

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ una función continua y $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ primitiva de $f$ tal que $F(8)=2$ y $F(1)=0$. Calcular:

$\int _{D}f((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}})dxdydz$

$D=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:1\leq ||(x,y,z)||^{2}\leq 4,z\leq -{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\}$

Ejercicio 4

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función diferenciable en $P$ probar que $f$ es continua en $P$