Final 07/12/2016 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea ${\mathcal {R}}$ una relación en $\mathbb {Q} [x]$ tal que $f{\mathcal {R}}g\Longleftrightarrow x^{3}-x|x^{3}f-xg$

a)Probar que ${\mathcal {R}}$ es una relación de equivalencia.

b)Determinar la clase de $f=1$.

Ejercicio 2

Sea $a_{n}$ la sucesión de números naturales definida por

$a_{1}=2$

$a_{2}=4$

$a_{n+2}=4a_{n+1}+3a_{n}$

Calcular $(a_{n}:a_{n+1})$ para todo $n$ natural.

Ejercicio 3

Dado $n=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{4}\cdot 5^{5}$ determinar cuántos divisores $d$ de $n$ hay que cumplan $(d:324)=36$.

Ejercicio 4

Hallar $z\in \mathbb {C}$ tal que $z^{3}\in \mathbb {R}$ y $|z|$ es raíz de $f=4x^{4}-2ix^{3}+4x^{2}+ix-3$.

Ejercicio 5

Sea $z\in G_{11}$, $z\neq 1$. Hallar $n$ tal que $z^{2^{n}}=z^{5}$.