Final 03/03/2017 (Probabilidad y Estadística)

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Tomado por Matthieu Jonckheere. Se aprueba con un 4. Duró 4 horas. Se podían usar las tablas de distribuciones y el resumen de distribuciones disponibles en la página de la materia.

Ejercicio 1 (20 puntos)[editar]

Sea (X,Y) un vector aleatorio con función de densidad conjunta:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle f_{XY}(x,y) = k(x^2+y^2) \ 1_{\{20 ≤ x ≤ 30, \ 20 ≤ y ≤ 30\}}}

  1. ¿Cuál es el valor de k?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto como sean menores que 26?
  3. ¿Cuál es la probabilidad de que ?
  4. Hallar y , las funciones de densidad marginales.

Ejercicio 2 (30 puntos)[editar]

  1. Sea una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro . Calcular su función generadora de momentos.
  2. Sea una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro . Calcular su función generadora de momentos.
  3. Sea una secuencia de variables aleatorias con distribución exponencial de parámetro y una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro independiente de los . Sea . Calcular la función generadora de momentos de .
  4. Deducir de 3. la distribución de .

Ejercicio 3 (25 puntos)[editar]

Se supone que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca A. Después de una campaña publicitaria en cierta región de ventas, se entrevistó a 200 fumadores para determinar la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca A.

  1. ¿Indican estos datos, a nivel aproximado 0.05, un aumento en la preferencia por la marca A?
  2. Calcular el p-valor.
  3. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva, cuando en realidad la proporción de preferencia por la marca A después de la campaña es 0.15?
  4. ¿Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la probabilidad de 3. fuese a lo sumo 0.05?

Ejercicio 4 (25 puntos)[editar]

Sea una muestra aleatoria de una distribución .

  1. Probar que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \max_{1≤i≤n} X_i} es el estimador de máxima verosimilitud de .
  2. Calcular el estimador de basado en el primer momento.
  3. Decir si los estimadores obtenidos son insesgados o asintóticamente insesgados, y consistentes. Justificar

Bonus (15 puntos)[editar]

Dar la definición de un proceso de Markov (en un espacio discreto) reversible.