Ceros de funciones no lineales (Métodos Numéricos)

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Bisección[editar]

El método más sencillo para hallar los ceros de funciones no lineales es el método de bisección. Requiere hallar un intervalo en el que la función sea continua y . Luego se hace una búsqueda binaria hasta obtener una aproximación lo suficientemente buena. El error así cometido, siendo n la cantidad de iteraciones, está acotado superiormente por

El orden de convergencia de este método es lineal.

Punto Fijo[editar]

Un valor p es punto fijo de la función g sii

Para toda funcion f, es posible hallar una funcion g tal que el punto fijo de g sea un cero de f. Una posibilidad que siempre funciona, aunque no sea la mejor, es .

Teorema de existencia del punto fijo[editar]

Si es continua, entonces tiene un punto fijo en . Es decir, todos los valores de un intervalo tienen su imagen dentro de ese mismo intervalo.

Teorema de unicidad del punto fijo[editar]

Si además del teorema anterior, se cumple que para todo , entonces el punto fijo es único. Es importante destacar que es un implica, y no un si y solo si.

El error en la iteración i del algoritmo está determinado por la fórmula

Teorema del algoritmo del punto fijo[editar]

Si se cumple el teorema anterior, la sucesión definida por para con cualquiera en converge a p.

Teorema de velocidad de convergencia[editar]

El orden de convergencia es n, siendo n el orden de la primera derivada que no se anula en el punto fijo. Se tiene que .

Método de Newton[editar]

Es un caso particular de punto fijo construido especialmente para que tenga convergencia cuadrática en un entorno del punto fijo.

Teorema del método de Newton[editar]

Sea y tal que . Entonces existe un entorno alrededor de p punto fijo tal que para cualquier inicial perteneciente a ese entorno, la sucesión

converge cuadráticamente a p.

Si no se dan todas las hipótesis, puede que el método oscile o converja con orden menor a cuadrático. Recordar que este método no es más que un caso particular de punto fijo, y todos los teoremas anteriores pueden aplicarse.