Ceros de funciones no lineales (Métodos Numéricos)

Volver a la página de la materia

Bisección

El método más sencillo para hallar los ceros de funciones no lineales es el método de bisección. Requiere hallar un intervalo $[a,b]$ en el que la función sea continua y $signo(f(a))\neq signo(f(b))$. Luego se hace una búsqueda binaria hasta obtener una aproximación lo suficientemente buena. El error así cometido, siendo n la cantidad de iteraciones, está acotado superiormente por

${\frac {b-a}{2^{n}}}$

El orden de convergencia de este método es lineal.

Punto Fijo

Un valor p es punto fijo de la función g sii $p=g(p)$

Para toda funcion f, es posible hallar una funcion g tal que el punto fijo de g sea un cero de f. Una posibilidad que siempre funciona, aunque no sea la mejor, es $g(x)=x+f(x)$.

Teorema de existencia del punto fijo

Si $g:[a,b]\rightarrow [a,b]$ es continua, entonces tiene un punto fijo en $[a,b]$. Es decir, todos los valores de un intervalo tienen su imagen dentro de ese mismo intervalo.

Teorema de unicidad del punto fijo

Si además del teorema anterior, se cumple que $|g'(x)|\leq k<1$ para todo $x\in (a,b)$, entonces el punto fijo es único. Es importante destacar que es un implica, y no un si y solo si.

El error en la iteración i del algoritmo está determinado por la fórmula

$|x_{i}-p|\leq {\frac {k^{i}}{1-k}}|x_{1}-x_{0}|$

Teorema del algoritmo del punto fijo

Si se cumple el teorema anterior, la sucesión definida por $p_{n+1}=g(p_{n})$ para $n\geq 0$ con $p_{0}$ cualquiera en $[a,b]$ converge a p.

Teorema de velocidad de convergencia

El orden de convergencia es n, siendo n el orden de la primera derivada que no se anula en el punto fijo. Se tiene que $|err_{i+1}|\leq c|err_{i}|^{n}$.

Método de Newton

Es un caso particular de punto fijo construido especialmente para que tenga convergencia cuadrática en un entorno del punto fijo.

Teorema del método de Newton

Sea $f\in C^{2}[a,b]$ y $p\in [a,b]$ tal que $f(p)=0\wedge f'(p)\neq 0$. Entonces existe un entorno alrededor de p punto fijo tal que para cualquier $p_{0}$ inicial perteneciente a ese entorno, la sucesión

$p_{n+1}=p_{n}-{\frac {f(p_{n})}{f'(p_{n})}}$

converge cuadráticamente a p.

Si no se dan todas las hipótesis, puede que el método oscile o converja con orden menor a cuadrático. Recordar que este método no es más que un caso particular de punto fijo, y todos los teoremas anteriores pueden aplicarse.