Edición de «Segundo Parcial Verano 2022»

Fecha 18/03/2022. Se aprobaba con 58 puntos o más.

== Ejercicio 1 ==
En una estación de servicio se venden dos tipos de combustible. Sea la variable aleatoria ''X<sub>i</sub>'' = "Cantidad de litros (en miles) vendidos en un día del combustible tipo ''i''" con ''i'' = 1,2. Se sabe que la variable ''X<sub>1</sub>'' tiene media 5.8 y desvío estándar 1, mientras que la variable ''X<sub>2</sub>'' tiene media 11 y desvío estándar 3 (todas estas cantidades dadas en miles de litros). Se supone que las cantidades vendidas de cada tipo en un día son independientes entre sí.
* (a) Probar que la probabilidad exacta de que la cantidad total de litros (en miles) que vende la estación en un día esté entre 10.8 miles de litros y 22.8 miles de litros es mayor que 0.72. (8 ptos)
* (b) La ganancia por cada litro de combustible del tipo 1 que se vende es $1 y por cada litro del tipo 2 que se vende es $2. Si se supone que la cantidad (en miles de litros) vendida en días distintos son independientes entre sí, calcular la probabilidad aproximada de que la ganancia total en 37 días sea de al menos 1073 (en miles de $). (10 ptos)
* (c) ¿En cuántos días se obtiene una ganancia de al menos 2800 (en miles de $) con probabilidad aproximada mayor que 0.9? '''Sugerencia:''' el cambio ''x'' = sqrt(''n'') puede ser útil. (7 ptos)

== Ejercicio 2 ==
Sea ''X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>'' una muestra aleatoria de una población con densidad <br>
''f(x) = (4/θ) x<sup>3</sup> e<sup>-x<sup>4</sup>/θ</sup> I<sub>(0, +∞)</sub>(x)'' <br>
donde θ > 0 es un parámetro a estimar.
* (a) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de ''θ'', ''θ<sub>MV</sub>''. (7 ptos)
* (b) Decidir si ''θ<sub>MV</sub>'' es insesgado. (7 ptos)
* (c) Decidir si ''θ<sub>MV</sub>'' es consistente. (4 ptos)
* (d) Calcular ''ECM(θ<sub>MV</sub>)''. (7 ptos)
'''Sugerencia:''' Puede ser útil conocer la densidad de ''Y = X<sup>4</sup>'' con ''X'' variable aleatoria con densidad dada por ''f''.

== Ejercicio 3 ==
Sea ''X<sub>1</sub>,...,X<sub>n</sub>'' una muestra aleatoria de una población con densidad ''f(x) = e<sup>x-λ</sup> I<sub>(-∞,λ)</sub>(x)'' con λ parámetro para el cual queremos un estimador en forma de intervalo.
* (a) Probar que ''T'' = max<sub>1≤''i''≤''n''</sub> (''X<sub>i</sub>'') - λ tiene función de densidad ''f<sub>T</sub>(t) = ne<sup>nt</sup> I<sub>(-∞,0)</sub>(t)''. (7 ptos)
* (b) Hallar un intervalo de confianza de nivel EXACTO 0.95 para el parámetro λ. Se recomienda armar el intervalo dejando una porción de área de valor 0.05 a la izquierda. (8 ptos)
* (c) Hallar un intervalo de confianza de nivel ASINTÓTICO 0.95 para el parámetro λ. (7 ptos)
* (d) Se realizaron 20 observaciones obteniéndose que max(''x<sub>i</sub>'') = 2.58 y [[Archivo:Captura de pantalla 2022-04-12 221736.png|x20px'|frameless]]<sub>''n''</sub> = 1.81. Dar los intervalos de confianza estimados apartir de los obtenidos en b) y c). (3 ptos)

== Ejercicio 4 ==
Una fábrica que produce varillas de acero afirma que la longitud de una de ellas sigue una distribución normal con media μ = 30 mm y desvío estándar de 0.1 mm. Sin embargo uno de sus clientes observa que en el último pedido tuvo ejemplares con longitudes muy inferiores a 30 mm cuando para él es importante que las longitudes no estén por debajo de dicho valor. El cliente decide realizar un test de hipótesis para analizar si da a lugar dejar de proveerse de este fabricante. Para ello elige en forma aleatoria 30 varillas obteniéndose una media muestral de 29.96 mm. <br>
'''El cliente está dispuesto a que la probabilidad de dejar de proveerse del fabricante cuando en realidad éste informa correctamente la media de las longitudes sea 0.02.
* (a) Plantear el test de hipótesis adecuado. (6 ptos)
* (b) Especifique el estadístico del test, su distribución bajo ''H<sub>0</sub> y la región de rechazo correspondiente. ¿Qué decisión toma el cliente basado en este test? (7 ptos)
* (c) Calcular el ''p''-valor del test justificando apropiadamente la forma de calcularlo. ¿Qué decisión tomaría el cliente si el test tuviese un nivel de signifcación de 0.018? (No es necesario hacer cuentas para responder a esto). (6 ptos)
* (d) Calcular la probabilidad de seguir comprándole a este fabricante cuando en realidad el valor verdadero de μ es 29.94. (7 ptos)