Resumen (Algoritmos III)

Segundo Parcial

Grafos Eulerianos

• Un circuito C en un grafo G se llama un circuito euleriano si C pasa por todos los ejes de G una y sólo una vez. Un grafo es euleriano si contiene un circuito euleriano.

• • Teorema de Euler: Un grafo conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par.

• Un camino euleriano en un grafo G es un camino que pasa por cada eje de G una y sólo una vez.

• • Un grafo conexo tiene un camino euleriano si y sólo si tiene exactamente dos nodos de grado impar y el resto de los nodos tiene grado par.

• Un grafo orientado o digrafo, se dice euleriano si tiene un circuito orientado que pasa por cada eje de G una y sólo una vez.

• • Un digrafo conexo es euleriano si y sólo si para todo nodo v de G se verfica que $d_{i}n(v)=d_{o}ut(v)$

• El problema de grafos eulerianos está bien resuelto para todas estas versiones.

Grafos Hamiltonianos

• Un grafo se dice hamiltoniano si tiene un circuito que pasa por cada nodo de G una y sólo una vez.

• No es un problema bien resuelto.

• Sea G un grafo conexo. Si existe $W\subset V$ tal que G \ W tiene c componentes conexas con $c>|W|$ entonces G no es hamiltoniano.

• Sea G un grafo con n ≥ 3 y tal que para todo $v\in V$ se verifica que d(v) ≥ n/2 entonces G es hamiltoniano (Dirac).

• Sea G un grafo con n ≥ 2 tal que para todo par de vértices $v,w$ no adyacentes se verifica que $d(v)+d(w)\geq n$ entonces G es hamiltoniano (Ore).

Viajante de comercio

• El problema del viajante de comercio consiste en hallar un circuito hamiltoniano de longitud minima en un grafo.

• No es un problema bien resuelto, hay muchas heurísticas para resolverlo. Si las distancias en el grafo son euclideanas, entonces algunas heurísticas son epsilon aproximadas.

Planaridad

• Un grafo es planar si puede representarse en el plano sin que sus ejes se crucen.

• $K_{5}$ y $K_{3,3}$ son grafos no planares. $K_{5}$ es el grafo no planar con el menor número de nodos y $K_{3,3}$ es el que tiene el menor número de ejes.

Teorema de Kuratowski

• Subdividir un eje e = (v,w) de un grafo G, consiste en agregar u un nodo a G y reemplazar el eje e por dos ejes e'= (v,u) y e" = (u,w).

• Un grafo G' es una subdivisión de otro grafo G si G' se puede obtener de G' por sucesivas operaciones de subdivisión.

• Dos grafos G y H se dicen homeomorfos si hay un issomorfismo entre una subdivisión de G y una de G'.

• Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo homeomorfo a $K_{3,3}$ o $K_{5}$.

Teorema de Whitney

• La operación de contracción de un eje e= (v,w) consiste en eliminar el eje del grafo y considerar sus extremos como un solo nodo u. (quedan como ejes incidentes a u todos los ejes que eran incidentes en v y en w).

• Un grafo G' es una contracción de otro grafo G si se puede obtener a partir de G por sucesivas operaciones de contracción. En este caso se dice que G es contraible a G'.

• Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo contraible a $K_{3,3}$ o $K_{5}$.

Teorema de Euler

• Dada una representación planar de un grafo G, las regiones de G son los conjuntos conexos (en el sentido topológico) maximales que quedan en el plano R2 al sacar los puntos correspondientes a los nodos de G.

• La frontera de una región es el circuito que rodea a la región (puede tener nodos y ejes repetidos).

• El grado o tamaño de la región es el número de ejes que tiene su frontera. Por ejemplo, $K_{2}$ determina una región con una frontera de dos ejes.

• Si G es planar, entonces $2m=\sum _{f\in F}|f|$, donde $|f|$ es el tamaño de la región f y F es el conjunto de regiones.

• Si G es planar y conexo, entonces $n-m+r=2$ (ecuación de Euler)

• Si G es planar y $n\geq 3$, entonces $m\leq 3n-6$ (corolario)

• Si G es planar, conexo, bipartito y $m\geq 1$, entonces $m\leq 2n-4$ (corolario)

Coloreo de Grafos

• Un coloreo válido de los nodos de un grafo G es un asignación de colores a los mismos en la cual 2 nodos adyacentes no tengan el mismo color.

• El número cromático $\chi (G)$ de un grafo G es el menor número de colores con que se puede colorear un grafo.

• El polinomio cromático de un grafo indica cuántos coloreos posibles hay en un grafo usando k colores distintos. Por ejemplo, en $K_{3}$, el polinomio cromático es $k*(k-1)*(k-2)$.

• El coloreo es un problema computacionalmente aún no resuelto, que da origen a muchos subproblemas.

Propiedades del número cromático

• $\chi (K_{n})=n$

• Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces $\chi (G)=2$

• Si G es un circuito simple par, entonces $\chi (G)=2$

• Si G es un circuito simple impar, entonces $\chi (G)=3$

• Si T es un árbol con n > 1, entonces $\chi (G)=2$

• Si H es subgrafo de G, entonces $\chi (H)\leq \chi (G)$

• Si $\omega (G)$ es el número de nodos de una clique máxima de G, entonces $\chi (G)\geq \omega (G)$

• Si d es el grado del nodo de mayor grado, entonces $\chi (G)\leq d(G)+1$

• Si G es un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo con $d(G)\geq 3$, entonces $\chi (G)\leq d(G)$ (Teorema de Brooks)

• Si G es un grafo planar, entonces $\chi (G)\leq 4$ (Teorema de los 4 colores)

Matching, Covering, Independent Set

Sea un grafo G =(V,X).

• Una correspondencia o matching entre los nodos de G, es un conjunto M de ejes tal que para todo nodo v del grafo, v es incidente a lo sumo a un eje e de M.

• • Un nodo v se dice saturado por un matching M si hay un eje de M incidente a v.

• • Dado un matching M en G, un camino alternado en G es un camino simple donde se alternan ejes que están en M con ejes que no están en M.

• • Dados dos matchings M0 y M1 para G, si se toma el grafo G' que resulta de realizar la diferencia simétrica entre los matchings, es decir, X' = (M0 - M1) U (M1 - M0), todas las componentes conexas de G' son nodos aislados o circuitos o caminos simples con ejes alternados en M0 y M1.

• • M es un matching máximo si y sólo si no existe un camino alternado entre pares de nodos no saturados.

• Un conjunto independiente I de nodos de G, es un conjunto de nodos tal que para todo eje del grafo, e es incidente a lo sumo a un nodo v de I. Es decir, en el subgrafo inducido por I, todos los nodos son aislados.

• Un recubrimiento de los ejes de G, es un conjunto Rn de nodos tal que para todo eje e de G, e es incidente al menos a un nodo v de Rn. Es decir, vertex cover.

• Un recubrimiento de los nodos de G, es un conjunto Re de ejes tal que para todo nodo v de G, v es incidente al menos a un eje e de Re.

Equivalencias

• Cualquier matching M verifica que $|M|\leq n/2$ (redondeado hacia abajo).

• Cualquier recubrimiento de nodos Re (conjunto de ejes) verifica que $|R_{e}|\geq n/2$ (redondeado hacia arriba), pues deben cubrir todos los nodos.

• Por lo tanto, $|M|\leq |R_{e}|$. En particular, si son iguales, se trata de un matching máximo y un recubrimiento mínimo.

• También se verifica para cualquier recubrimiento de los ejes Rn (vertex cover) que $|M|\leq |R_{n}|$. En particular, si el grafo es bipartito, la cantidad de ejes del matching máximo es igual a la cantidad de nodos de un vertex cover mínimo.

• Dado un grafo G sin vértices aislados, I un conjunto independiente máximo y Re un recubrimiento de nodos mínimo, vale que $|I|\leq |R_{e}|$

• Dado un grafo G, si M es un matching máximo y Re un recubrimiento mínimo de los nodos de V, entonces $|M|+|R_{e}|=n$. Es un problema bien resuelto.

• Dado un grafo G, si I es un conjunto independiente máximo y Rn un recubrimiento mínimo de los ejes de V, entonces $|I|+|R_{n}|=n$. No es un problema bien resuelto.

• Dado un grafo G bipartito de m aristas, con I conjunto independiente máximo y Rn recubrimiento mínimo de aristas, vale que $m\leq |I|*|R_{n}|$.

Flujo

• El problema consiste en hallar el flujo máximo en una red. En su versión tradicional, se encuentra bien resuelto.

• Un flujo factible en una red es una función f que verifica que:

• • El flujo no supera la capacidad, es decir, $0\leq f(e)\leq c(e)$ para todo eje e.
  • Se cumple la ley de conservación de flujo, es decir, para todo nodo distinto de s (la fuente) y t (el sumidero), la suma de los f(e) de entrada es igual a la suma de los f(e) de salida.

• El valor del flujo es la diferencia entre la suma de los f(e) de entrada del sumidero y los de salida, es decir, $F=\sum _{e\in In(t)}f(e)-\sum _{e\in Out(t)}f(e)$

• Un corte en la red N es un subconjunto S de V , tal que la fuente pertenece a S y el sumidero no. El conjunto de ejes que sale de S es SS, y el que llega es SS. S es el complemento de S.

• Para cualquier corte S, el valor de un flujo F es igual a la diferencia entre la suma de los f(e) que salen de S y la suma de los f(e) que entran.

• La capacidad de un corte S se define como c(S) igual a la suma de las capacidades de los ejes que salen de S.

• Vale que $F\leq c(S)$, y siempre existe un corte tal que se verifique la igualdad. Entonces si se halla un par F, S tal que la igualdad se verifique, se tiene un flujo máximo y un corte de capacidad mínima.

• Se utiliza el Algoritmo de Ford y Fulkerson con el Algoritmo del Camino de Aumento para resolverlo. Falla si las capacidades son números irracionales, deben ser enteros positivos (si son racionales pueden convertirse a enteros). En la práctica, se usa la variante de Edmonds y Karp que usa BFS para generar los caminos de aumento, asegurando así complejidad polinomial de $O(m^{2}*n)$.