Edición de «Resumen (Algoritmos III)»
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Línea 10: | Línea 10: | ||
** Un grafo conexo tiene un camino euleriano si y sólo si tiene exactamente dos nodos de grado impar y el resto de los nodos tiene grado par. | ** Un grafo conexo tiene un camino euleriano si y sólo si tiene exactamente dos nodos de grado impar y el resto de los nodos tiene grado par. | ||
* Un grafo orientado o digrafo, se dice euleriano si tiene un circuito orientado que pasa por cada eje de G una y sólo una vez. | * Un grafo orientado o digrafo, se dice euleriano si tiene un circuito orientado que pasa por cada eje de G una y sólo una vez. | ||
** Un digrafo conexo es euleriano si y sólo si para todo nodo v de G se verfica que <math> | ** Un digrafo conexo es euleriano si y sólo si para todo nodo v de G se verfica que <math>d_in (v) = d_out (v)</math> | ||
* El problema de grafos eulerianos está bien resuelto para todas estas versiones. | * El problema de grafos eulerianos está bien resuelto para todas estas versiones. | ||
Línea 27: | Línea 27: | ||
=== Viajante de comercio === | === Viajante de comercio === | ||
* El problema del viajante de comercio consiste en hallar un circuito hamiltoniano de | * El problema del viajante de comercio consiste en hallar un circuito hamiltoniano de longitud minima en un grafo. | ||
* No es un problema bien resuelto, hay muchas heurísticas para resolverlo. Si las distancias en el grafo son euclideanas, entonces algunas heurísticas son epsilon aproximadas. | * No es un problema bien resuelto, hay muchas heurísticas para resolverlo. Si las distancias en el grafo son euclideanas, entonces algunas heurísticas son epsilon aproximadas. | ||
Línea 41: | Línea 41: | ||
=== Teorema de Kuratowski === | === Teorema de Kuratowski === | ||
* Subdividir un eje e = (v,w) de un grafo G, consiste en agregar un nodo | * Subdividir un eje e = (v,w) de un grafo G, consiste en agregar u un nodo a G y reemplazar el eje e por dos ejes e'= (v,u) y e" = (u,w). | ||
* Un grafo G' es una subdivisión de otro grafo G si G' se puede obtener de G por sucesivas operaciones de subdivisión. | * Un grafo G' es una subdivisión de otro grafo G si G' se puede obtener de G' por sucesivas operaciones de subdivisión. | ||
* Dos grafos G y H se dicen homeomorfos si hay un | * Dos grafos G y H se dicen homeomorfos si hay un issomorfismo entre una subdivisión de G y una de H. | ||
* Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo homeomorfo a <math>K_{3,3}</math> o <math>K_{5}</math>. | * Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo homeomorfo a <math>K_{3,3}</math> o <math>K_{5}</math>. | ||
Línea 63: | Línea 63: | ||
* La frontera de una región es el circuito que rodea a la región (puede tener nodos y ejes repetidos). | * La frontera de una región es el circuito que rodea a la región (puede tener nodos y ejes repetidos). | ||
* El grado o tamaño de la región es el número de ejes que tiene su frontera. Por ejemplo, <math>K_{2}</math> determina una región con una frontera de | * El grado o tamaño de la región es el número de ejes que tiene su frontera. Por ejemplo, <math>K_{2}</math> determina una región con una frontera de dos ejes. | ||
* Si G es planar, entonces <math>2m = \sum _{f \in F} |f|</math>, donde <math>|f|</math> es el tamaño de la región f y F es el conjunto de regiones. | * Si G es planar, entonces <math>2m = \sum _{f \in F} |f|</math>, donde <math>|f|</math> es el tamaño de la región f y F es el conjunto de regiones. | ||
Línea 119: | Línea 119: | ||
** M es un matching máximo si y sólo si no existe un camino alternado entre pares de nodos no saturados. | ** M es un matching máximo si y sólo si no existe un camino alternado entre pares de nodos no saturados. | ||
* Un '''conjunto independiente''' I de nodos de G, es un conjunto de nodos tal que para todo eje del grafo, e es incidente a lo sumo a un nodo v de I. Es decir, en el subgrafo inducido por I, todos los nodos son aislados | * Un '''conjunto independiente''' I de nodos de G, es un conjunto de nodos tal que para todo eje del grafo, e es incidente a lo sumo a un nodo v de I. Es decir, en el subgrafo inducido por I, todos los nodos son aislados. | ||
* Un '''recubrimiento de los ejes''' de G, es un conjunto Rn de nodos tal que para todo eje e de G, e es incidente al menos a un nodo v de Rn. Es decir, '''vertex cover''' | * Un '''recubrimiento de los ejes''' de G, es un conjunto Rn de nodos tal que para todo eje e de G, e es incidente al menos a un nodo v de Rn. Es decir, '''vertex cover'''. | ||
* Un '''recubrimiento de los nodos de G''', es un conjunto Re de ejes tal que para todo nodo v de G, v es incidente al menos a un eje e de Re | * Un '''recubrimiento de los nodos de G''', es un conjunto Re de ejes tal que para todo nodo v de G, v es incidente al menos a un eje e de Re. | ||
=== Equivalencias === | === Equivalencias === | ||
Línea 136: | Línea 136: | ||
* En particular, si el grafo es bipartito, la cantidad de ejes del matching máximo es igual a la cantidad de nodos de un vertex cover mínimo. (Nota de un lector: Esto no me lo creo. Para un grafo con puntos aislados, es bipartito, el matching maximo tiene 0 ejes y no existe vertex cover, quizas tengo alguna definicion mal, pero aviso por las dudas) | * En particular, si el grafo es bipartito, la cantidad de ejes del matching máximo es igual a la cantidad de nodos de un vertex cover mínimo. (Nota de un lector: Esto no me lo creo. Para un grafo con puntos aislados, es bipartito, el matching maximo tiene 0 ejes y no existe vertex cover, quizas tengo alguna definicion mal, pero aviso por las dudas) | ||
* Dado un grafo G sin vértices aislados, I un conjunto independiente máximo y Re un recubrimiento de nodos mínimo, vale que <math>|I| \leq |R_e|</math> (Dem: Como un eje solo puede tocar un solo nodo de I (pq es indep), necesitas al menos tantos ejes como nodos en I para cubrir todo) | * Dado un grafo G sin vértices aislados, I un conjunto independiente máximo y Re un recubrimiento de nodos mínimo, vale que <math>|I| \leq |R_e|</math> (Dem: Como un eje solo puede tocar un solo nodo de I (pq es indep), necesitas al menos tantos ejes como nodos en I para cubrir todo) | ||
* Dado un grafo G, si M es un matching máximo y Re un recubrimiento mínimo de los nodos de V, entonces <math>|M| + |R_e| = n</math>. Es un problema bien resuelto. | * Dado un grafo G, si M es un matching máximo y Re un recubrimiento mínimo de los nodos de V, entonces <math>|M| + |R_e| = n</math>. Es un problema bien resuelto. (NDL: no entendi) | ||
* Dado un grafo G, si I es un conjunto independiente máximo y Rn un recubrimiento mínimo de los ejes de V, entonces <math>|I| + |R_n| = n</math>. No es un problema bien resuelto. | * Dado un grafo G, si I es un conjunto independiente máximo y Rn un recubrimiento mínimo de los ejes de V, entonces <math>|I| + |R_n| = n</math>. No es un problema bien resuelto. (No entendi) | ||
* Dado un grafo G bipartito de m aristas, con I conjunto independiente máximo y Rn recubrimiento mínimo de aristas, vale que <math>m \leq |I|*|R_n|</math>. | * Dado un grafo G bipartito de m aristas, con I conjunto independiente máximo y Rn recubrimiento mínimo de aristas, vale que <math>m \leq |I|*|R_n|</math>. |