Edición de «Resumen (Algoritmos III)»

= Segundo Parcial =

== Grafos Eulerianos ==

* Un circuito C en un grafo G se llama un circuito euleriano si C pasa por todos los ejes de G una y sólo una vez. Un grafo es euleriano si contiene un circuito euleriano.

** Teorema de Euler: Un grafo conexo es euleriano si y sólo si todos sus nodos tienen grado par.

* Un camino euleriano en un grafo G es un camino que pasa por cada eje de G una y sólo una vez.

** Un grafo conexo tiene un camino euleriano si y sólo si tiene exactamente dos nodos de grado impar y el resto de los nodos tiene grado par.

* Un grafo orientado o digrafo, se dice euleriano si tiene un circuito orientado que pasa por cada eje de G una y sólo una vez.

** Un digrafo conexo es euleriano si y sólo si para todo nodo v de G se verfica que <math>d_in (v) = d_out (v)</math>

* El problema de grafos eulerianos está bien resuelto para todas estas versiones.

== Grafos Hamiltonianos ==

* Un grafo se dice hamiltoniano si tiene un circuito que pasa por cada nodo de G una y sólo una vez.

* No es un problema bien resuelto.

* Sea G un grafo conexo. Si existe <math>W \subset V</math> tal que G \ W tiene c componentes conexas con <math>c > |W|</math> entonces G no es hamiltoniano.

* Sea G un grafo con n ≥ 3 y tal que para todo <math>v \in V</math> se verifica que d(v) ≥ n/2 entonces G es hamiltoniano (Dirac).

* Sea G un grafo con n ≥ 2 tal que para todo par de vértices <math>v, w</math> no adyacentes se verifica que <math>d(v) + d(w) \geq n</math> entonces G es hamiltoniano (Ore).

=== Viajante de comercio ===

* El problema del viajante de comercio consiste en hallar un circuito hamiltoniano de longitud minima en un grafo.

* No es un problema bien resuelto, hay muchas heurísticas para resolverlo. Si las distancias en el grafo son euclideanas, entonces algunas heurísticas son epsilon aproximadas.

== Planaridad ==

* Un grafo  es planar si puede representarse en el plano sin que sus ejes se crucen.

* <math>K_5</math> y <math>K_{3,3}</math> son grafos no planares. <math>K_{5}</math> es el grafo no planar con el menor número de nodos y <math>K_{3,3}</math> es el que tiene el menor número de ejes. 

=== Teorema de Kuratowski ===

* Subdividir un eje e = (v,w) de un grafo G, consiste en agregar u un nodo a G y reemplazar el eje e por dos ejes e'= (v,u) y e" = (u,w).

* Un grafo G' es una subdivisión de otro grafo G si G' se puede obtener de G'  por sucesivas operaciones de subdivisión. 

* Dos grafos G y H se dicen homeomorfos si hay un issomorfismo entre una subdivisión de G y una de G'.

* Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo homeomorfo a <math>K_{3,3}</math> o <math>K_{5}</math>.

=== Teorema de Whitney ===

* La operación de contracción de un eje e= (v,w) consiste en eliminar el eje del grafo y considerar sus extremos como un solo nodo u. (quedan como ejes incidentes a u todos los ejes que eran incidentes en v y en w).

* Un grafo G' es una contracción de otro grafo G si se puede obtener a partir de G por sucesivas operaciones de contracción. En este caso se dice que G es contraible a G'.

* Un grafo es planar si y sólo si no contiene ningún subgrafo contraible a <math>K_{3,3}</math> o <math>K_{5}</math>.

=== Teorema de Euler ===

* Dada una representación planar de un grafo G, las  regiones de G son los conjuntos conexos (en el sentido topológico) maximales que quedan en el plano R2 al sacar los puntos correspondientes a los nodos de G.

* La frontera de una región es el circuito que rodea a la región (puede tener nodos y ejes repetidos).

* El grado o tamaño de la región es el número de ejes que tiene su frontera. Por ejemplo, <math>K_{2}</math> determina una región con una frontera de dos ejes.

* Si G es planar, entonces <math>2m = \sum _{f \in F} |f|</math>, donde <math>|f|</math> es el tamaño de la región f y F es el conjunto de regiones.

* Si G es planar y conexo, entonces <math>n - m + r = 2</math> (ecuación de Euler)

* Si G es planar y <math>n \geq 3</math>, entonces <math>m \leq 3n - 6</math> (corolario)

== Coloreo de Grafos ==

* Un coloreo válido de los nodos de un grafo G es un asignación de colores a los mismos en la cual 2 nodos adyacentes no tengan el mismo color.

* El número cromático <math>\chi (G)</math> de un grafo G es el menor número de colores con que se puede colorear un grafo.

* El polinomio cromático de un grafo indica cuántos coloreos posibles hay en un grafo usando k colores distintos. Por ejemplo, en <math>K_{3}</math>, el polinomio cromático es <math>k*(k-1)*(k-2)</math>.

* El coloreo es un problema computacionalmente aún no resuelto, que da origen a muchos subproblemas.

=== Propiedades del número cromático ===

* <math>\chi (K_n) = n</math>

* Si G es un grafo bipartito con m > 0, entonces <math>\chi (G) = 2</math>

* Si G es un circuito simple par, entonces <math>\chi (G) = 2</math>

* Si G es un circuito simple impar, entonces <math>\chi (G) = 3</math>

* Si T es un árbol con n > 1,  entonces <math>\chi (G) = 2</math>

* Si H es subgrafo de G, entonces <math>\chi (H) \leq \chi (G)</math>

* Si <math>\omega (G)</math> es el número de nodos de una clique máxima de G, entonces <math>\chi (G) \geq \omega (G)</math>

* Si d es el grado del nodo de mayor grado, entonces <math>\chi (G) \leq d(G) + 1</math>

* Si G es un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo con <math>d(G) \geq 3</math>, entonces <math>\chi (G) \leq d(G)</math> (Teorema de Brooks)

* Si G es un grafo planar, entonces <math>\chi (G) \leq 4</math> (Teorema de los 4 colores)

== Matching, Covering, Independent Set ==

Sea un grafo G =(V,X).

* Una '''correspondencia''' o '''matching''' entre los nodos de G, es un conjunto M de ejes tal que para todo nodo v del grafo, v es incidente a lo sumo a un eje e de M.

** Un nodo v se dice saturado por un matching M si hay un eje de M incidente a v.

** Dado un matching M en G, un camino alternado en G es un camino simple donde se alternan ejes que están en M con ejes que no están en M.

** Dados dos matchings M0 y M1 para G, si se toma el grafo G' que resulta de realizar la diferencia simétrica entre los matchings, es decir, X' = (M0 - M1) U (M1 - M0), todas las componentes conexas de G' son nodos aislados o circuitos o caminos simples con ejes alternados en M0 y M1.

** M es un matching máximo si y sólo si no existe un camino alternado entre pares de nodos no saturados.

* Un '''conjunto independiente''' I de nodos de G, es un conjunto de nodos tal que para todo eje del grafo, e es incidente a lo sumo a un nodo v de I. Es decir, en el subgrafo inducido por I, todos los nodos son aislados.

* Un '''recubrimiento de los ejes''' de G, es un conjunto Rn de nodos tal que para todo eje e de G, e es incidente al menos a un nodo v de Rn. Es decir, '''vertex cover'''.

* Un '''recubrimiento de los nodos de G''', es un conjunto Re de ejes tal que para todo nodo v de G, v es incidente al menos a un eje e de Re.

=== Equivalencias ===

* Cualquier matching M verifica que <math>|M| \leq n/2</math> (redondeado hacia abajo).

* Cualquier recubrimiento de nodos Re (conjunto de ejes) verifica que <math>|R_e| \geq n/2</math> (redondeado hacia arriba), pues deben cubrir todos los nodos.

* Por lo tanto, <math>|M| \leq |R_e|</math>. En particular, si son iguales, se trata de un matching máximo y un recubrimiento mínimo.

* También se verifica para cualquier recubrimiento de los ejes Rn (vertex cover) que <math>|M| \leq |R_n|</math>. En particular, si el grafo es bipartito, la cantidad de ejes del matching máximo es igual a la cantidad de nodos de un vertex cover mínimo.

* Dado un grafo G sin vértices aislados, I un conjunto independiente máximo y Re un recubrimiento de nodos mínimo, vale que <math>|I| \leq |R_e|</math>

* Dado un grafo G, si M es un matching máximo y Re un recubrimiento mínimo de los nodos de V, entonces <math>|M| + |R_e| = n</math>. Es un problema bien resuelto.

* Dado un grafo G, si I es un conjunto independiente máximo y Rn un recubrimiento mínimo de los ejes de V, entonces <math>|I| + |R_n| = n</math>. No es un problema bien resuelto.

* Dado un grafo G bipartito de m aristas, con I conjunto independiente máximo y Rn recubrimiento mínimo de aristas, vale que <math>m \leq |I|*|R_n|</math>.

== Flujo ==

* El problema consiste en hallar el flujo máximo en una red. En su versión tradicional, se encuentra bien resuelto.

* Un flujo factible en una red es una función f que verifica que:

** El flujo no supera la capacidad, es decir, <math>0 \leq f(e) \leq c(e)</math> para todo eje ''e''.
** Se cumple la ley de conservación de flujo, es decir, para todo nodo distinto de ''s'' (la fuente) y ''t'' (el sumidero), la suma de los f(e) de entrada es igual a la suma de los f(e) de salida.

* El valor del flujo es la diferencia entre la suma de los f(e) de entrada del sumidero y los de salida, es decir, <math>F = \sum _{e \in In(t)} f(e) - \sum _{e \in Out(t)} f(e)</math>

* Un corte en la red N es un subconjunto S de V , tal que la fuente pertenece a S y el sumidero no. El conjunto de ejes que sale de S es S<u>S</u>, y el que llega es <u>S</u>S. <u>S</u> es el complemento de S.

* Para cualquier corte S, el valor de un flujo F es igual a la diferencia entre la suma de los f(e) que salen de S y la suma de los f(e) que entran.

* La capacidad de un corte S se define como c(S) igual a la suma de las capacidades de los ejes que salen de S.

* Vale que <math>F \leq c(S)</math>, y siempre existe un corte tal que se verifique la igualdad. Entonces si se halla un par F, S tal que la igualdad se verifique, se tiene un flujo máximo y un corte de capacidad mínima.

* Se utiliza el Algoritmo de Ford y Fulkerson con el Algoritmo del Camino de Aumento para resolverlo. Falla si las capacidades son números irracionales, deben ser enteros positivos (si son racionales pueden convertirse a enteros). En la práctica, se usa la variante de Edmonds y Karp que usa BFS para generar los caminos de aumento, asegurando así complejidad polinomial de <math>O(m^2*n)</math>.