Práctica 5 (Métodos Numéricos)
Ejercicio 1
¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \{ x + y - z = 0 \}}
. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1)}
que pertenezca a S.
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) +\lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) }
esta en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 \Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0 \Longleftrightarrow \lambda = -1 \Longrightarrow }
El punto mas cercano es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2, 1, 0) + -1 (1, 1, -1) = (1, 0, 1)}
Ejercicio 2
Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b \in \mathbb{R}^n}
fijos. ¿Qué número real t hace que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert a-t*b\rVert_2}
sea mínimo
Minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lVert a-t*b\rVert}
es lo mismo que minimizar pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion y minimizemosla:
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
Para poder afirmar que es minimo, en realidad falta calcular y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...
Ejercicio 3
La función es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si . Calcular y demostrar que (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...
Ejercicio 4
Sea . Se define el espacio columna de A como el subespacio de generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de generado por las filas de A.
Ejercicio 4. a
Probar que el espacio columna de A es .
.
.
.
.
Ejercicio 4. d
Probar que el espacio fila de A es .
La idea es que alguien pertenece a solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de , por lo que pertenece a . La vuelta es si pertenece a , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
Ejercicio 4. c
Probar que .
es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes.
Ejercicio 5
Sean u y v vectores ortogonales en entonces (Teorema de Pitágoras).
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) }
.
Como u y v son ortogonales, entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v \times u) = 0}
y luego: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u \times u) + (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2}
Ejercicio 6
Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \in \mathbb{R}^n}
, entonces para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}}
.
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...
Ver
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html
o