Práctica 9: Planaridad - Coloreo (Algoritmos III)

PROPIEDADES IMPORTANTES PARA ESTA PRACTICA:
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Ejercicio 09.01:

1.No (Es contraible a K5 por los ejes que tocan la "estrella" por afuera)
2.No (Es contraible a K5 por el eje que toca el triangulo por arriba)
3.
4.
5.No (Contiene un subgrafo contraible a K3,3)

Ejercicio 09.02:

(Esta mal esto)
Sup. que no. Sea T arbol. Como T no es planar $\Rightarrow$ m > 3n-6
Como T es arbol $\Rightarrow$ m = n-1
Entonces n-1 $>$ 3n-6 <=> 5 > 2n <=> n < 5/2 $\Rightarrow$ n $\leq$ 2.
Pero entonces los unicos arboles posibles (K1 y K2) son planares $\Rightarrow$ ABS
A ver esta:
Sea T arbol. T es planar <=> no contiene un subgrafo homeomorfo a K5 o K33. Como no son isomorfos (todo arbol tiene hojas -> hay vertices de grado 1, pero K5 y K33 no tienen) -> y no se pueden obtener de otro grafo mediante subdiv. elementales (ya que cualquier subdiv. de K5 o K33 tiene ciclos -> no se puede llegar a un arbol) entonces vale.

Ejercicio 09.03:

G planar -> 2 = n-m+r y 3*n <= 2*m = Σd(v) -> n <= 2/3*m
-> 2 = n-m+r <= 2/3*m-m+r <=> 6 <= 2*m-3*m+3*r = 3*r-m <=> m <= 3*r-6

Ejercicio 09.04:

a) Sup. que no. Entonces para todo v, d(v) >= 6. Como G es planar -> m <= 3*n-6.
6*n <= Σ d(v) = 2*m <= -> 6*n <= 2*m -> m >= 3*n ABS (m <= 3*n-6)

b) Sup. que no. Entonces para todo v, d(v) > 4. Como G es planar -> m <= 3*n-6, y como para todo v, d(v) > 4 >= 3 -> m <= 3*r-6. Entonces:
G es planar -> m <= 3*n-6 < 3*12-6 = 30
Para todo v, d(v) >= 3 -> m <= 3*r-6 < 30 -> r < 12
Por F. Euler -> 2 = n-m+r < 12-m+12 -> m < 22
Por HI -> Para todo v, d(v) > 4 -> 2*m = Σ d(v) > 4*n > 4*12 = 48 -> m > 24 -> ABS

c) Sup. G y Gc son planares
-> m(G) <= 3*n-6, m(Gc) = n(n-1)/2 - m(G) >= n(n-1)/2 - (3*n-6), y m(Gc) <= 3*n-6
-> n(n-1)/2 - (3*n-6) <= m(Gc) <= (3*n-6)
Con lo cual hay que ver para que valores se cumple n(n-1)/2 - (3*n-6) <= (3*n-6). Esto pasa si n²-13*n+24 <= 0 <=> (n-10,77)(n-2,22) <= 0 -> n <= 10 y n >= 3. Pero por HI n >= 11 -> ABS

Ejercicio 09.05:

Sea G = K5. Si a G le agrego un nodo, (con o sin aristas) este grafo será no planar y no será homeomorfo a K3,3 ni a K5.

Ejercicio 09.06:

(Faltaria postear el dibujo de la "parrilla") Nota: p = puntos, l = cuerdas
G es planar -> r = m-n+2. Queremos averiguar m-n+1 (o sea, sin la region que cubre todo)
n = p + 2*l
2*mInt = Σ d(v) = 4*p + 2*l -> mInt = 2*p + l
m = mExt + mInt = 2*l + (2*p + l) = 3*l + 2*p
-> m-n+1 = (3*l + 2*p) - (p + 2*l) + 1 = l + p + 1

Ejercicio 09.08:

a)
b)

Ejercicio 09.09:

a)
b)
c)
d)

Ejercicio 09.10:

a)
b)

Ejercicio 09.11:

Notas:

• W(G) <= X(G) <= max d(G)+1
• Si G es planar -> X(G) <= 4

a)
1. 3 <= X(G) <= 4; X(G) =
2. 3 <= X(G) <= 4; X(G) = 3
3. 3 <= X(G) <= 5; X(G) =
4. 3 <= X(G) <= 4; X(G) = 3
b)

Ejercicio 09.12:

a)
b)

Ejercicio 09.13:

Vertices = Comisiones
Ejes = Comisiones que comparten Legisladores

Ejercicio 09.14:

a)
b)

Ejercicio 09.17:

a) Sup. que no es conexo. Sea G' = G-C1, es decir, G sin la comp. conexa C1.
Como es color critico -> X(G') < X(G) y X(C1) < X(G)
Sea f1 un coloreo para C1' / ese coloreo se realiza con X(C1') colores. Definamos analogamente f2 para C1. Podemos construir un coloreo valido para G haciendo f1∪f2 -> tenemos un coloreo de max{ X(G'), X(C1) } -> X(G) < k -> ABS (porque X(G) = k)

b) Sup. Ex. v є V / d(v) < k-1. Hacemos G' = G-v
Como es color critico -> X(G') < X(G) (Obs: para todo G, X(G-v)=X(G)-1)
Sea f' un coloreo para G' con X(G)-1 colores. Si coloreamos a v con el color menor no usado por sus vecinos -> f(v) <= k-1 -> tenemos un coloreo para G con menos de k colores -> ABS

c) Sea C1 una comp. conexa de G-v -> X(C1+v) < X(G) y X(G-C1) < X(G)
Coloreamos en forma optima C1+v1 con f1 y G-C1 con f2.

• Si f1(v)=f2(v) -> tenemos un coloreo con menos de k colores -> ABS
• Si f1(v)!=f2(v) -> reordenamos los colores de f2 de forma que la particion en conj. indep. sea la misma y volvemos al caso f1(v)=f2(v) -> ABS

d)

Ejercicio 09.19:

a)
=>)Sup. que G tiene un circuito C de long. impar -> X(C)= 3 -> no hay forma de usar solo 2 colores -> ABS
<=)Como G no tiene circuitos de long. impar -> G es bipartito -> X(G) = 2 (ya que se puede usar un color para la primer particion y otro para la segunda) -> G es 2-coloreable OK
b) Se podria usar el alg. para ver si es bipartito.
c) Habria que ver si es eficiente :P

Ejercicio 09.20:

El grafo de Grotzsch (Jaja no es fruta, miren:)
http://serv2.imagehigh.com/imgss/4459632_g_grotzsch.gif

Ejercicio 09.21:

a) Por induccion en n:

• CB: n = 1

X(G) = X(Gc) = 1 -> 2 <= 2 OK

• PI:

Saco un vertice -> G' = G-v
X(G)+X(Gc) = X(G')+X(Gc')+k (k cte.). Separamos en casos:
1. X(G) = X(G') o X(Gc) = X(Gc') -> k <= 1 -> X(G)+X(Gc) <= X(G')+X(Gc')+1 <= (HI) n+1 OK
2. dG(v) >= X(G') y dGc(v) >= X(Gc') -> X(G)+X(Gc) = X(G')+X(Gc')+2 <= dG(v)+dGc(v)+2 =
(como dGc(v)=n-dG(v)-1) dG(v)+(n-dG(v)-1)+2 = n+1 OK

b) Probamos ambas desigualdades:

• qvq n <= X(G)*X(Gc)

n <= X(G)*mayor particion del coloreo -> n <= X(G)*α(G) = X(G)*w(Gc)
X(G)*w(Gc) <= X(G)*X(Gc) -> n <= X(G)*X(Gc) OK

• qvq X(G)*X(Gc) <= [(n+1)/2]^2

Como para todo a,b: √(a*b) <= (a+b)/2 -> X(G)*X(Gc) <= [(X(G)+X(Gc))/2]^2 <= [(n+1)/2]^2 (por a)

c) (X(G)+X(Gc))/2 >= (por b) √(X(G)*X(Gc)) >= √n -> X(G)+X(Gc) >= 2√n

Ejercicio 09.22:

a)
b)
c)

Ejercicio 09.23:

a)
b)
c)

Ejercicio 09.25:

a)
b)

Ejercicio 09.26:

a)
b)
c)

Ejercicio 09.27:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Ejercicio 09.28:

a)
b)
c)
d)

Ejercicio 09.29:

a)
b)
c)
d)
e)

Ejercicio 09.31:

a)
b)

Ejercicio 09.33:

a)
b)