Práctica 8: Funciones Primitivas Recursivas (Lógica y Computabilidad)

Ej. 2

• a. Defino máximo recursivamente como:

max(x,0) = x
max(x,y+1) = 1 + max(p(x), y)

donde p(x) es la función primitiva recursiva predecesor.

• b. Mínimo:

• c. Par:

par(0) = 1
par(t+1) = 1 - par(t)

• d. Hf (half):

hf(0) = 0
hf(t+1) = par(t) . hf(t) + [1 - par(t)] . [hf(t) + 1]

• e. Sqrt, raiz cuadrada entera:

$sqrt(x)=min_{0\leq i\leq x}(i\times i>x)-1$

• f. psq, predicado cuadrado:

$psq(x)=(sqrt(x)\times sqrt(x)=x)$

Ej. 3

• a)

f(x,0) = 1

f(x, y+1) = g(x,y,f(x,y))

con g(x,y,z) = z * x

• b)

Definimos $H(n,m)=n^{n^{.^{.^{n}}}}$ m veces $H(n,0)=0$

notar que $f(n)=H(n,n)$

Vemos que H es RP:

$H(n,0)=0$

$H(n,m+1)=n^{H(n,m)}=g(n,m,H(n,m))$

con $g(n,m,p)=n^{p}$

Como g es RP, H es RP y f es RP.

Ej. 4

• a

$g(x,y)=\psi ^{(x)}(y)$

$g(0,y)=y$ $g(x+1,y)=\psi (g(x,y))$

$f(x)=g(x,x)=\psi ^{(x)}(x)$

• b. Lo mismo pero con + 1

• c

g(x,y,z,0) = x $g(x,y,z,w+1)=\phi (g(x,y,z,w),z-x)$

- es el menos natural (con puntito arriba)

$f(x,y)=g(x,y,y,y+1)$