Diferencia entre revisiones de «Práctica 8: Caminos Eulerianos y Hamiltonianos (Algoritmos III)»
Línea 7: | Línea 7: | ||
==Ejercicio 08.04:== | ==Ejercicio 08.04:== | ||
Probamos las 2 implicaciones por separado: | |||
=>) Como G es conexo y tiene circuito euleriano, cada nodo tiene grado par y por lo tanto G contiene algun ciclo C. Si sacamos los ejes de C pueden pasar 2 cosas: | |||
Si C era el único circuito, luego trivial. | |||
Si no nos queda G' donde cada nodo también tendrá grado par, y por lo tanto volvemos a aplicar esto recursivamente. | |||
(Una demostración más formal se puede hacer usando inducción, ya que justamente como dije arriba, es cuestión de aplicar recursivamente una función que nos saque un circuito). | |||
<=) Sea G conexo y particionable en K circuitos: C1, C2, ... , Ck | |||
Si sacamos los ejes de C1, luego como G es conexo nos quedan nodos que habían en común entre C1, y otro Ci (Esto es casi trivial probarlo). Luego hay que nuevamente ir recorriendo los ciclos, sabiendo que tendremos nodos compartidos con ciclos no recorridos anteriormente, y esto se podrá hacer k veces, y luego habremos encontrado nuestro circuito euleriano. | |||
==Ejercicio 08.05:== | ==Ejercicio 08.05:== | ||
==Ejercicio 08.06:== | ==Ejercicio 08.06:== |
Revisión del 01:22 20 nov 2006
Ejercicio 08.01:
a)
b)
Ejercicio 08.02:
Ejercicio 08.03:
1.Si 2.Si 3.No 4.No
Ejercicio 08.04:
Probamos las 2 implicaciones por separado:
=>) Como G es conexo y tiene circuito euleriano, cada nodo tiene grado par y por lo tanto G contiene algun ciclo C. Si sacamos los ejes de C pueden pasar 2 cosas: Si C era el único circuito, luego trivial. Si no nos queda G' donde cada nodo también tendrá grado par, y por lo tanto volvemos a aplicar esto recursivamente.
(Una demostración más formal se puede hacer usando inducción, ya que justamente como dije arriba, es cuestión de aplicar recursivamente una función que nos saque un circuito).
<=) Sea G conexo y particionable en K circuitos: C1, C2, ... , Ck Si sacamos los ejes de C1, luego como G es conexo nos quedan nodos que habían en común entre C1, y otro Ci (Esto es casi trivial probarlo). Luego hay que nuevamente ir recorriendo los ciclos, sabiendo que tendremos nodos compartidos con ciclos no recorridos anteriormente, y esto se podrá hacer k veces, y luego habremos encontrado nuestro circuito euleriano.
Ejercicio 08.05:
Ejercicio 08.06:
Ejercicio 08.07:
a)
b)
Ejercicio 08.08:
a) Para todo n impar, n >1
b) K2
Ejercicio 08.09:
a)
b)
c)
Ejercicio 08.10:
Ejercicio 08.11:
a)
b)
c)
d)
e)
Ejercicio 08.12:
Ejercicio 08.13:
Ejercicio 08.14:
Ejercicio 08.15:
Ejercicio 08.16:
Ejercicio 08.17:
Dem: Si G es hamiltoniano entonces, trivialmente, tambien G+uv lo es. Sup. que G+uv es hamiltoniano pero G no lo es. Entonces, como en la dem. del teorema 4.3, obtenemos (4.4). Pero esto contradice la hipotesis (4.5) [Ver North-Holland]
Ejercicio 08.18:
Ejercicio 08.19:
Ejercicio 08.20:
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 08.21:
a)
b)
c)
d)
e)
Ejercicio 08.22:
Ejercicio 08.23:
a)
b)
c)
Ejercicio 08.24:
a)
b)
c)