Edición de «Práctica 8: Caminos Eulerianos y Hamiltonianos (Algoritmos III)»
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<br>[Sacado del libro de North-Holland.. para leerlo tranquilos :P] | <br>[Sacado del libro de North-Holland.. para leerlo tranquilos :P] | ||
<br>Teorema 4.3: si G es un grafo de tal que <math>n \ge 3</math> y <math> \forall v, | <br>Teorema 4.3: si G es un grafo de tal que <math>n \ge 3</math> y <math> \forall v, d(v) \ge \frac{n,2} \Rightarrow G</math> es hamiltoniano | ||
<br>Dem: Sup. que NO. como n >= 3, G no puede ser completo. Sean u,v vertices no ady. en G. Por eleccion de G, G+uv es hamiltoniano. Mas aun, como G no lo es, cada ciclo hamiltoniano de G+uv debe contener el eje uv. Entonces hay un camino hamiltoniano {v1,..,vk} en G tal que u=v1 y v=vk. | <br>Dem: Sup. que NO. como n >= 3, G no puede ser completo. Sean u,v vertices no ady. en G. Por eleccion de G, G+uv es hamiltoniano. Mas aun, como G no lo es, cada ciclo hamiltoniano de G+uv debe contener el eje uv. Entonces hay un camino hamiltoniano {v1,..,vk} en G tal que u=v1 y v=vk. | ||
<br>Sean S={vi | hay eje u-v(i+1)} y T={vi | hay eje v(i)-v}. Como vk no esta en S∪T -> |S∪T| < n -> |S∩T| = 0 (ya que si contuviera algun vertice vi, entonces G tendria el ciclo hamiltoniano {v1,..,vi,vk,vk-1,..,vi+1,v1} que seria ABS). Usando lo anterior obtenemos d(u)+d(v)=|S|+|T|=|S∪T|+|S∩T| < n (este es el 4.4). Pero esto contradice HI (para todo v, d(v) >= n/2, con lo cual d(u)+d(v) >= 2*n/2 = n) ABS | <br>Sean S={vi | hay eje u-v(i+1)} y T={vi | hay eje v(i)-v}. Como vk no esta en S∪T -> |S∪T| < n -> |S∩T| = 0 (ya que si contuviera algun vertice vi, entonces G tendria el ciclo hamiltoniano {v1,..,vi,vk,vk-1,..,vi+1,v1} que seria ABS). Usando lo anterior obtenemos d(u)+d(v)=|S|+|T|=|S∪T|+|S∩T| < n (este es el 4.4). Pero esto contradice HI (para todo v, d(v) >= n/2, con lo cual d(u)+d(v) >= 2*n/2 = n) ABS |