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| ==Ejercicio 02== | | ==Ejercicio 02== |
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| Salen todos bastante fácil usando árboles.
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| ==Ejercicio 03== | | ==Ejercicio 03== |
| Lo que nos piden ver es que si ⊨''φ'' entonces ⊨(∀''x'')''φ'' (la ida de la ''clausura universal''). Esto es lo mismo que ver que ⊨(''φ''→(∀''x'')''φ'').
| | <br>¬(β ! ∀xβ) |
| Luego, si logramos probar que ¬(''φ''→(∀''x'')''φ'') es insatisfacible, habremos demostrado lo que nos piden.
| | <br>* (En particular con x = α, β es verdadero pues es universalmente valido) |
| | | <br>β |
| Hagámoslo mediante el siguiente árbol de refutación:
| | <br>¬∀xβ |
| | | <br>∃x¬β |
| {| class="wikitable" style="text-align:center"
| | <br>¬β |
| |-
| | <br>× |
| | colspan="2" | ¬(''φ''→(∀''x'')''φ'')
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| |-
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| | colspan="2" | ''φ''
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| |-
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| | colspan="2" | ¬(∀''x'')''φ''
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| |-
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| | colspan="2" | ¬''φ''[''x''/''c'']
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| | style="text-align:left;color:#607060" | donde ''c'' es una constante.
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| |-
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| | colspan="2" | ¬''φ''
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| | style="text-align:left;color:#607060" | ¬''φ''[''x''/''c''] ≡ ''φ'', pues ''φ'' es un enunciado universalmente válido.
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| |-
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| | colspan="2" | ×
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| |}
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| Como el árbol es cerrado, la negación de lo que queríamos demostrar es insatisfacible y por lo tanto queda demostrado lo que se pedía.
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| ==Ejercicio 04== | | ==Ejercicio 04== |
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| Si prestamos atención, en realidad nos están pidiendo demostrar que ''ψ'' es consecuencia de ''φ'' y (''φ→ψ''). Es decir, la preservación de la validez del ''modus ponens'' en lógica de primer orden.
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| Hay un corolario que dice:<br />
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| <span style="color:#505080">Sean ''β'', ''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>k</sub> enunciados, entonces {''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>k</sub>} ⊨ ''β'' si y sólo si el enunciado ''α''<sub>1</sub> ∧ ... ∧ ''α''<sub>k</sub> ∧ ¬β origina un árbol de refutación cerrado.</span>
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| Entonces procedemos a construir un árbol de refutación de ''φ'' ∧ (''φ→ψ'') ∧ ''¬ψ'':
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| {| class="wikitable" style="text-align: center"
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| |-
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| | colspan="2" | ( (''φ'' ∧ (''φ→ψ'')) ∧ ''¬ψ'' )
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| |-
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| | colspan="2" | (''φ'' ∧ (''φ→ψ''))
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| |-
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| | colspan="2" | ''¬ψ''
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| |-
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| | colspan="2" | ''φ''
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| |-
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| | colspan="2" | (''φ''→''ψ'')
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| |-
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| | ''¬φ''
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| | ''ψ''
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| |-
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| | ×
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| | ×
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| |}
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| Luego como el árbol es cerrado, la relación de consecuencia se cumple y queda demostrado lo que nos piden.
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| ==Ejercicio 05== | | ==Ejercicio 05== |
| ==Ejercicio 06== | | ==Ejercicio 06== |
