Práctica 5 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 1

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
$S=\{x+y-z=0\}$. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un $t=(2,1,0)+\lambda (1,1,-1)=(2+\lambda ,1+\lambda ,-\lambda )$ que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0. Entonces t está en S $\Longleftrightarrow 2+\lambda +1+\lambda -(-\lambda )=0$

$\Longleftrightarrow 3+3\lambda =0$

$\Longleftrightarrow \lambda =-1$.

Entonces el punto más cercano es $t=(2,1,0)+(-1)(1,1,-1)=(1,0,1)$

Ejercicio 2

Sean $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$ fijos. ¿Qué número real t hace que $||a-t*b\||_{2}$ sea mínimo
Minimizar $||a-t*b||$ es lo mismo que minimizar $||a-t*b||^{2}$ pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion $f(t)$ y minimizemosla:
$f(t)=||a-t*b||^{2}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}-tb_{i})^{2}$
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0. $f'(x)=\left(\sum _{i=0}^{n}(a_{i}-tb_{i})^{2}\right)'$
$=\sum _{i=0}^{n}-2b_{i}(a_{i}-tb_{i})$
$=\sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}-t-2b_{i}^{2}=0$
$\Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}-\sum _{i=0}^{n}t-2b_{i}^{2}=0$
$\Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}=\sum _{i=0}^{n}t-2b_{i}^{2}$
$\Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}b_{i}a_{i}=t\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}$
$\Longleftrightarrow {\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i}a_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}}}=t$

Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular $f''({\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i}a_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}}})$ y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

Ejercicio 3

Sea $A\in \mathbb {R} ^{nxm}$. Se define el espacio columna de A como el subespacio de $\mathbb {R} ^{n}$ generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de $\mathbb {R} ^{n}$ generado por las filas de A.

Ejercicio 3. a

Probar que el espacio columna de A es $Im(A)$.
$v\in Im(A)\Longleftrightarrow \exists w/Aw=x$. $\Longleftrightarrow x_{i}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}wj$. $\Longleftrightarrow x=\sum _{j=1}^{n}wjA_{*j}$. $\Longleftrightarrow x\in espacio\ columnas\ de\ A$.

Ejercicio 3. d

Probar que el espacio fila de A es $Nu(A)^{\bot }$.
La idea es que alguien pertenece a $Nu(a)$ solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de $A$. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de $A$, por lo que pertenece a $Nu(A)^{\bot }$. La vuelta es si pertenece a $Nu(A)^{\bot }$, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

Ejercicio 3. c

Probar que $Im(A)^{\bot }=Nu(A^{t})$.
$Im(A)$ es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de $A^{t}$. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes$\Box$.

Ejercicio 4

Sean u y v vectores ortogonales en $\mathbb {R}$ entonces $\|u+v\|_{2}^{2}=\|u\|_{2}^{2}+\|u\|_{2}^{2}$ (Teorema de Pitágoras).
$\|u+v\|_{2}^{2}=(u+v)\times (u+v)$
$=u\times (u+v)+v\times (u+v)$
$=(u\times u)+(u\times v)+(v\times u)+(v\times v)$.
Como u y v son ortogonales, entonces $(v\times u)=0$ y luego: $\|u+v\|_{2}^{2}=(u\times u)+(v\times v)=\|u\|_{2}+\|u\|_{2}$

Ejercicio 5

Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio $S\in \mathbb {R} ^{n}$, entonces para todo $x\in \mathbb {R} ^{n},(I-P)x\in S^{\bot }$.
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

Ejercicio 9

Supongamos que Ax = y. Probar que un vector ${\hat {x}}\in \mathbb {R} ^{m}$ satisface $A{\hat {x}}=y$ si y sólo si $x-{\hat {x}}\in Nu(A)$.Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.

Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que $Nu(A)\neq \lbrace 0\rbrace$. Sea $z\neq 0,z\in Nu(A)$, entonces $Az=0\Leftrightarrow Ax+Az=b\Leftrightarrow A(x+z)=b\Leftrightarrow x+z\neq x$ es otra solución del sistema. Absurdo!

Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, $y\neq x$, soluciones del sistema Ax=b. Entonces $Ay-Az=b-b=0\Leftrightarrow A(y-z)=0$. Pero$y-z\neq 0$ y Nu(a) = {0}. Absurdo!

Ejercicio viejo

La función $f(x)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\|Ax-b\|$es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si $\nabla f=({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial f}{\partial x_{m}}})^{t}=0$. Calcular $\nabla f$ y demostrar que $\nabla f(x)=0\Longleftrightarrow si\ A^{t}Ax=A^{t}b$ (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...