Edición de «Práctica 5 (Métodos Numéricos)»

==Ejercicio 1==
'''¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?'''<br>

==Ejercicio 2==
'''Sean a, b <- R^n fijos. ¿Qué número real t hace que <math>\lVert a-t*b\rVert_2</math> sea mínimo'''<br>
Minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert</math> es lo mismo que minimizar <math>\lVert a-t*b\rVert^2</math> pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion <math>f(t)</math> y minimicemosla: <br>
f(t) = ||a − t * b|| ^ 2 = Sum [i = 0; i < n] (a[i] − t * b[i]) ^ 2 <br>
Para minimizarla, derivemosla, y hallemos el minimo en f'(t) = 0 y f''(t) > 0. <br>
f'(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i] <br>
f''(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * b[i] ^ 2 <br>

f'(t) = 0 ==> Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i] = 0 <==> <br>

Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i] − t * b[i] * b[i]) = 0 <==> <br>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) − t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 = 0 <==> <br>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==> <br>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==> <br>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 = t <br>

Notese que necesitamos que <math>\lVert b\rVert >0</math> para poder pasar dividiendo la sumatoria, y para que <math>f(t) > 0</math>. Entonces para cualquier <math>\lVert b\rVert >0</math> t = Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 es el que minimiza la funcion, y para <math>\lVert b\rVert =0</math> cualquier t da lo mismo.

==Ejercicio 4==
'''Sea A � IRn×m. Se define el espacio columna de A como el subespacio de IRn generado por las
columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de IRm generado por las filas de A.'''<br>
===(a)===
Probar que el espacio columna de A es Im(A).
===(d)===
Probar que el espacio fila de A es Nu(A)^bottom.
===(c)===
Probar que Im(A)^bottom = Nu(A^t).
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