Edición de «Práctica 5 (LyC Verano)»
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| Revisión actual | Tu texto | ||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
==Ejercicio 01== | |||
<pre> | |||
SP3 = (¬φ → ¬ψ) → [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1 <=> | |||
(¬φ → ¬ψ) = 0 ٧ [ (¬φ → ψ) → φ ] = 1 | |||
¬φ = 0 ٧ ¬ψ = 1 (¬φ → ψ) = 0 ٧ φ = 1 | |||
φ = 1 ٧ ψ = 0 ¬φ = 0 ٧ ψ = 1 | |||
φ = 1 ٧ ψ = 1 | |||
</pre> | |||
Con lo cual, SP3 vale si | |||
<br>(φ=1 ٧ ψ=0) ٧ (φ=1 ٧ ψ=1) ٧ (φ=1), que equivale a | |||
<br>(φ=1) ٧ (ψ=0 ٧ ψ=1), que equivale a | |||
<br>(φ=1) ٧ T = tautologia | |||
<br> -> SP3 es tautologia | |||
==Ejercicio 02== | ==Ejercicio 02== | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
*1.SP3: (¬φ → ¬<font color=red>φ</font>) → [ (¬φ → <font color=red>φ</font>) → φ ] | |||
*2.VALE: (¬φ → ¬φ) (ya que |- p → p) | |||
*1. | *3.MP 1 y 2: (¬φ → φ) → φ | ||
→ |- (¬φ → φ) → φ | |||
* | |||
* | |||
|- (¬φ → φ) → | |||
===b)=== | ===b)=== | ||
| Línea 36: | Línea 42: | ||
==Ejercicio 03== | ==Ejercicio 03== | ||
==Ejercicio 04== | |||
==Ejercicio | |||
===a)=== | ===a)=== | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
===c)=== | ===c)=== | ||
===d)=== | ===d)=== | ||
== | ==Ejercicio 05== | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
<pre> | <pre> | ||
| Línea 95: | Línea 69: | ||
((p1 → p3) → ((p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3))) | ((p1 → p3) → ((p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3))) | ||
¬(p1 → p3) (p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3)) | ¬(p1 → p3) (p2 → p3) → ((p1 ٧ p2) → p3)) | ||
p1 ¬(p2 → p3) | p1 ¬(p2 → p3) ¬((p1 ٧ p2) → p3) | ||
¬p3 p2 | ¬p3 p2 (p1 ٧ p2) | ||
¬p3 ¬p3 | |||
</pre> | </pre> | ||
¬P = (p1 ٨ ¬p3) ٧ (p2 ٨ ¬p3 | ¬P = (p1 ٨ ¬p3) ٧ (p2 ٨ ¬p3) ٧ ¬p3 = (p1 ٧ p2 ٧ T) ٨ ¬p3 = ¬p3. Es una contingencia | ||
Nota: NO es una contingencia. Este árbol sólo logra probar que la fórmula NO ES TAUTOLOGÍA. Ahora habría que agregar el árbol para la fórmula sin negar y ver si se cierran o no todas sus ramas. Si se cierran todas, es una contradicción (en este caso ocurre eso), si queda alguna abierta, entonces sí, es una contingencia. | |||
===c)=== | ===c)=== | ||
| Línea 116: | Línea 89: | ||
¬P = ((¬p1 ٧ ¬p2) ٧ p3) ٨ ¬p4. Como cada variable aparece 1 vez, ¬P es contingencia | ¬P = ((¬p1 ٧ ¬p2) ٧ p3) ٨ ¬p4. Como cada variable aparece 1 vez, ¬P es contingencia | ||
== | ==Ejercicio 06== | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
<pre> | <pre> | ||
| Línea 165: | Línea 138: | ||
</pre> | </pre> | ||
==Ejercicio == | ==Ejercicio 07== | ||
===a)=== | ===a)=== | ||
===b)=== | ===b)=== | ||
== | ==Ejercicio 08== | ||
<br>a) F El unico arbol de la formula p1 es ella misma, que es un arbol abierto. Sin embargo, la formula no es una tautologia. | <br>a) F El unico arbol de la formula p1 es ella misma, que es un arbol abierto. Sin embargo, la formula no es una tautologia. | ||
<br>b) F El arbol (p1 ٨ ¬p1) para esa misma formula no es cerrado, pero la formula es una contradiccion. El asunto es que el arbol no esta completo. | <br>b) F El arbol (p1 ٨ ¬p1) para esa misma formula no es cerrado, pero la formula es una contradiccion. El asunto es que el arbol no esta completo. | ||
<br>c) V (Esta demostrada en algun lado, pero no me acuerdo donde) | <br>c) V (Esta demostrada en algun lado, pero no me acuerdo donde) | ||
==Ejercicio | ==Ejercicio 09== | ||
==Ejercicio 10== | |||
Como Γ1∪Γ2 es insatisfacible, por compacidad existe Γ0 <math>\subseteq</math> Γ1∪Γ2 finito e insatisfacible. Este conjunto tiene que tener por lo menos una formula de Γ1 y una de Γ2. Si no, serıa satisfacible. Si llamamos α1,..,αn a las formulas de Γ1 ∩ Γ0 y β1,..,βm a las de Γ1 ∩ Γ0, podemos hacer α = α1 ٨..٨ αn y β = β1 ٨..٨ βm. Es claro que α ε C(Γ1) y que β ε C(Γ2). Ademas, α ٨ β es una contradiccion. Pero α ٨ β ≡ ¬(¬α ٧ ¬β) ≡ ¬(α → ¬β), de lo cual podemos concluir que (α → ¬β) es una tautologia | |||
==Ejercicio | |||
Como | |||
==Ejercicio 11 | ==Ejercicio 11== | ||
<br>Sea Γ' <math>\subseteq</math> Γ finito. Veamos por induccion en su cantidad de elementos que es satisfacible. Si #Γ' = 1, sabemos que es satisfacible pues consta de una sola contingencia. Supongamos que todo Γ' de menos de n elementos es satisfacible. Sea Γ' con n elementos. Entonces, Γ' = {α} U Γ" (con α <math>\notin</math> Γ"). Sea v una valuacion que satisface a Γ" (existe por HI). Sea w una valuacion que satisface a α. Construimos v' como sigue. En las variables de α, da lo mismo que w. En las demas variables, da lo mismo que v. Esta valuacion satisface a Γ'. Entonces, como todo subconjunto finito es satisfacible, Γ es satisfacible (por compacidad). | <br>Sea Γ' <math>\subseteq</math> Γ finito. Veamos por induccion en su cantidad de elementos que es satisfacible. Si #Γ' = 1, sabemos que es satisfacible pues consta de una sola contingencia. Supongamos que todo Γ' de menos de n elementos es satisfacible. Sea Γ' con n elementos. Entonces, Γ' = {α} U Γ" (con α <math>\notin</math> Γ"). Sea v una valuacion que satisface a Γ" (existe por HI). Sea w una valuacion que satisface a α. Construimos v' como sigue. En las variables de α, da lo mismo que w. En las demas variables, da lo mismo que v. Esta valuacion satisface a Γ'. Entonces, como todo subconjunto finito es satisfacible, Γ es satisfacible (por compacidad). | ||
<br>Si no queremos usar compacidad, vemos directamente que Γ es satisfacible. Para cada elemento αi hay una valuacion vi. Construimos la valuacion v que es igual a cada vi en las variables de αi, y 0 en las variables que no aparezcan en Γ. Esta bien definida por las intersecciones vacias. v satisface a Γ. | <br>Si no queremos usar compacidad, vemos directamente que Γ es satisfacible. Para cada elemento αi hay una valuacion vi. Construimos la valuacion v que es igual a cada vi en las variables de αi, y 0 en las variables que no aparezcan en Γ. Esta bien definida por las intersecciones vacias. v satisface a Γ. | ||
==Ejercicio | ==Ejercicio 12== | ||
Supongamos que ninguna formula de la forma α1 ٧...٧ αn sea tautologia. Esto es lo mismo que decir que ninguna formula de la forma ¬α1 ٨ ... ٨ ¬αn no es contradiccion. Pero esto ultimo es lo mismo que decir que todo subconjunto finito de negaciones de formulas de Γ es satisfacible. Entonces ¬Γ = {¬α, α ε Γ} es satisfacible. Entonces, existe v valuacion tal que v(¬α) = 1 para todo α en Γ. Esto contradice la hipotesis de que v satisface al menos una formula de Γ. Entonces, tienen que existir finitas formulas α1, ... , αn tales que su disyuncion es una tautologia. | Supongamos que ninguna formula de la forma α1 ٧...٧ αn sea tautologia. Esto es lo mismo que decir que ninguna formula de la forma ¬α1 ٨ ... ٨ ¬αn no es contradiccion. Pero esto ultimo es lo mismo que decir que todo subconjunto finito de negaciones de formulas de Γ es satisfacible. Entonces ¬Γ = {¬α, α ε Γ} es satisfacible. Entonces, existe v valuacion tal que v(¬α) = 1 para todo α en Γ. Esto contradice la hipotesis de que v satisface al menos una formula de Γ. Entonces, tienen que existir finitas formulas α1, ... , αn tales que su disyuncion es una tautologia. | ||
==Ejercicio | ==Ejercicio 13== | ||
Recordemos que {P} |= Q sii (P → Q) es una tautologia. Y esto tambien es equivalente a que [P] <= [Q]. Con esto en mente, supongamos que Γ |= γ. Entonces, por compacidad, existe un subconjunto finito Γ0 = {α1, ... , αn} de Γ tal que {α1, ... , αn} |= γ . Miremos el cociente finito Γ0/ ≡. La hipotesis de que α → β es tautologia o β → α es tautologia se puede traducir en que este cociente se puede ordenar totalmente. Sea [α] su primer elemento. Es claro que todos los elementos de [α] son consecuencia de α. Los elementos de clases mayores tambien, pues se tiene que α → β es tautologia para toda β que este en una clase [P] tal que [α] <= [P]. Entonces, todo Γ0 es consecuencia de α. Luego, {α} |= γ . | Recordemos que {P} |= Q sii (P → Q) es una tautologia. Y esto tambien es equivalente a que [P] <= [Q]. Con esto en mente, supongamos que Γ |= γ. Entonces, por compacidad, existe un subconjunto finito Γ0 = {α1, ... , αn} de Γ tal que {α1, ... , αn} |= γ . Miremos el cociente finito Γ0/ ≡. La hipotesis de que α → β es tautologia o β → α es tautologia se puede traducir en que este cociente se puede ordenar totalmente. Sea [α] su primer elemento. Es claro que todos los elementos de [α] son consecuencia de α. Los elementos de clases mayores tambien, pues se tiene que α → β es tautologia para toda β que este en una clase [P] tal que [α] <= [P]. Entonces, todo Γ0 es consecuencia de α. Luego, {α} |= γ . | ||
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