Edición de «Práctica 4 (Métodos Numéricos)»

{{Back|Métodos Numéricos}}
== Ejercicio 1 ==
Sea A una matriz de <math>R^{(m \times n)}</math> . Probar que las matrices <math>A\times A^t</math> y <math>A^t \times A</math> son simétricas. Mostrar mediante un ejemplo que pueden no ser iguales. Probar que si <math>A</math> es cuadrada entonces <math>A + A^t</math> es simétrica. ¿Qué sucede con <math>A - A^t</math> ?

ver que una matriz es simétrica, es ver que esa matriz es igual a su transpuesta:

qvq <math>A\times A^t = (A\times A^t)^t</math>:

<math>(A \times A^t)^t = (A^t)^t \times A^t = (A^t)^t \times A^t = A \times A^t</math>

para el caso <math>A^t \times A</math> es analogo.

ejemplo que <math> A \times A^t \neq A^t \times A </math>:

<math>A = \biggl( \begin{matrix}
  -1&1\\ 0&1
\end{matrix} \biggr)</math>

pruebelo usted mismo.

qvq <math>A + A^t = (A + A^t)^t</math>:

<math>(A + A^t)^t = A^t + (A^t)^t = A^t + A = A + A^t</math>

<math>\therefore A + A^t</math> es una matriz simétrica.


<math>(A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t = -( A -A^t )</math>

<math>\Leftrightarrow A - A^t \neq (A - A^t)^t </math>

<math>\therefore A - A^t </math> no es una matriz simétrica

== Ejercicio 2 ==
Probar que toda matriz cuadrada <math>A</math> de <math>R^{n \times n}</math> es expresable en forma unica como <math>A = S + T</math> donde <math>S</math> es simétrica y <math>T</math> es antisimétrica (es decir, <math>T^t = -T</math>)

por ejercicio 1) sabemos que <math>A + A^t</math> es simétrica y que <math>A - A^t</math> es antisimétrica. luego tomamos <math> S = \frac{1}{2}\times (A + A^t)</math> y <math>T = \frac{1}{2}\times (A - A^t)</math> notar que una matriz simétrica o un antisimpetrica por un escalar sigue conservando esta propiedad. luego efectivamente <math>A</math> se puede escribir de la forma

<math>S + T  = \dfrac{A + A^t}{2} + \dfrac{A - A^t}{2} = \frac{1}{2}\times A +\frac{1}{2}\times A + \frac{1}{2}\times A^t - \frac{1}{2}\times A^t = A</math>

<math>\therefore \exists \ S,T / A = S + T \ \land  S </math>simétrica y <math>T</math> antisimétrica

Demostremos unicidad:
supongamos <math>S' y T' </math> simétrica y antisimétrica respectivamente tq <math>A = S' + T' \land S' \ne S \land T' \ne T </math>

<math> \Rightarrow S+T = S'+T'</math>

<math> \Leftrightarrow S - S' = T' - T </math>      (2)

por otra parte tenemos que:

<math> ( S + T )^t = ( S' + T' )^t </math>

<math> \Leftrightarrow S - T = S' - T' </math>

<math> \Leftrightarrow S - S' = T - T' </math>

por (2):

<math> \Leftrightarrow T' - T = T - T' </math>

<math> \Leftrightarrow T' = T </math> Abs!

Este absurdo vino de suponer que existia matrices distintas a las originales que satisfacian la ecuación.

<math>\therefore \exists! \ S,T / A = S + T \ \land  S </math>simétrica y <math>T</math> antisimétrica

== Ejercicio 4 ==

== Ejercicio 9 ==
Sea x la solucion del sistema  Ax = b.

A)Sea x + x la solución del sistema Ax = b + <math>\hat{b}</math>. Acotar la norma de ||x||.

<math> A (x + \hat{x}) = b + \hat{b} </math>

<math> A.x + A.\hat{x} = b + \hat{b}</math> paso restando A.x 

<math>       A.\hat{x} = b + \hat{b} - A.x</math> luego com A.x = b

<math>       A.\hat{x} = b + \hat{b} - b </math> se anula b

<math>       A.\hat{x} = \hat{b}</math>  supongo q A es INVERSIBLE ==><math> \exists A^{-1}</math>

<math>A^{-1}.A.\hat{x} = A^{-1}.\hat{b} </math>

<math>         \hat{x} = A^{-1}.\hat{b}</math> tomo norma de ambos lados

<math>     ||\hat{x}|| = ||A^{-1}.\hat{b}||</math> que por C-S-B  es...

<math>     ||\hat{x}|| <= ||A^{-1}||.||\hat{b}|| </math>


Listo !!


----