Edición de «Práctica 4: Lenguajes regulares y lema de pumping (Teoría de Lenguajes)»

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==Propiedades==
* Lema de pumping: Si L es regular -> <math>\exists</math> n tq <math>\forall</math> w <math>\in</math> L, |w|>=n, w se puede separar en w=xyz tq:
** y≠λ, |xy|<=n, y <math>\forall</math> k>=0, x.y^k.z <math>\in</math> L.

==Ejercicio 01==
==Ejercicio 02==
==Ejercicio 03==
==Ejercicio 04==
==Ejercicio 05==
''a) {0^(2n)/n>=1}''
<br> L = { (00)^n/n>=1 }. La ER para este lenguaje es (00)+ -> L es regular.

''b) {0^m.1^n.0^(m+n)/m,n>=1}''
<br> Sea L1={0^m.1^n/m,n>=1} y L2={0^(m+n)/m,n>=1}. Las ER son 0+.1+ (para L1) y  0.0+ (para L2) -> L1 y L2 son regulares, y como L = L1.L2 -> L es regular.

''c) {0^n/n es un numero primo}''
<br>Sup. L regular -> Sea a=0, w=1^p<math>\in</math>L. Por lema de bombeo, se puede separar w=xyz tq y≠λ, |xy|<=n. Elijamos p>=n+2, y sea |y|=m<=n -> |xz|=p-m. Como y≠λ -> m≥1. Entonces xy^(p-m)z <math>\in</math> L,pero |xy^(p-m)z| = |xz|+(p-m)|y| = p-m+(p-m)m = (p-m)(m+1), el cual NO es primo, ya que m+1>1 y p-m>=p-n>=n+2-n>=2>1 (ABS) -> L NO es regular.

''d) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x no contiene 3 ceros consecutivos}''
<br> Sea L' = {x<math>\in</math>{0, 1}*/x contiene 3 ceros consecutivos}. La ER para este lenguaje es (0|1)*(000)(0|1)* -> L' es regular, y como L es el complemento de L' -> L tambien es regular.

''e) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene igual cantidad de ceros que de unos}''
<br>Sup. L regular -> Sea s = 0^n.1^n <math>\in</math> L. Usando el lema de bombeo, sea el s=xyz tq y≠λ, |xy|<=n, <math>\forall</math>k, x.y^kz <math>\in</math> L. Entonces xy solo tiene 0's, y ademas xz <math>\in</math> L, tiene <n 0's (porque y≠λ) y n 1's (ABS) -> L NO es regular.

''h) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x = x^r}''
<br>Sup. L regular -> Sea a=0,b=1. Sup M es un autómata con k estados que lo reconoce. Sea ω=a^k.b^k. Es claro que ω<math>\in</math>L -> (2.5) <math>\exists</math> α, β, ρ | αβρ=ω y |αβ|≤k y <math>\forall</math> n, α.β^n.ρ<math>\in</math>L. Como ω=a^k.b^k y |αβ|≤k -> α y β están compuestas sólo de a´s. Por lo tanto, podemos decir que: α=a^t, β=a^s, ρ=a^[k-(s+t)].b^k, donde 1≤ s+t ≤ k y s ≥ 1. Es claro que: αβρ=ω
<br>Como no se hicieron suposiciones adicionales con respecto a las cadenas, decir que <math>\forall</math> n, α.β^n.ρ<math>\in</math>L equivale a decir que <math>\forall</math> n, t+ns+k-(s+t)=k. Sin embargo tomando n=0, t+ns+k-(s+t) = t+k-(s+t) = k -> -s = 0. Pero s >= 1 (ABS) -> L no es regular.


[[Category:Prácticas]]
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 ==Ejercicio 03==
 ==Ejercicio 04==
-<br>b) Como L es LR existe una GR lineal a derecha G = (N, T, P, S) tal que L = L(G). A partir de G es posible definir una gramática GR =(N, T, PR, S) tal que
-L(GR) = LR. donde PR = P  con cada regla de producción de P de la forma
-A -> aB  reemplazada por A -> Ba  para A, B en N  y a en T. Como L(GR) = LR         -> LR es un lenguaje regular
 ==Ejercicio 05==
 ''a) {0^(2n)/n>=1}''
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 ''b) {0^m.1^n.0^(m+n)/m,n>=1}''
+<br> Sea L1={0^m.1^n/m,n>=1} y L2={0^(m+n)/m,n>=1}. Las ER son 0+.1+ (para L1) y  0.0+ (para L2) -> L1 y L2 son regulares, y como L = L1.L2 -> L es regular.
 ''c) {0^n/n es un numero primo}''
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 ''e) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene igual cantidad de ceros que de unos}''
 <br>Sup. L regular -> Sea s = 0^n.1^n <math>\in</math> L. Usando el lema de bombeo, sea el s=xyz tq y≠λ, |xy|<=n, <math>\forall</math>k, x.y^kz <math>\in</math> L. Entonces xy solo tiene 0's, y ademas xz <math>\in</math> L, tiene <n 0's (porque y≠λ) y n 1's (ABS) -> L NO es regular.
-''f) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene dist. cantidad de ceros que de unos}''
-''g) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene menor cantidad de ceros que de unos}''
 ''h) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x = x^r}''
-<br>Sup. L regular -> Sea a=0,b=1, w=a^k.b^k <math>\in</math>L. Por lema de bombeo -> <math>\exists</math> x,y,z | xyz=w y |xy|≤k y <math>\forall</math> n, x.y^n.z<math>\in</math>L. Como w=a^k.b^k y |xy|≤k -> x e y están compuestas sólo de a´s -> podemos decir que: α=a^t, β=a^s, ρ=a^[k-(s+t)].b^k, donde 1≤ s+t ≤ k y s ≥ 1. Entonces <math>\forall</math> n, α.β^n.ρ<math>\in</math>L equivale a <math>\forall</math> n, t+ns+k-(s+t)=k. Sin embargo tomando n=0, t+ns+k-(s+t) = t+k-(s+t) = k -> s = 0. Pero s >= 1 (ABS) -> L no es regular.
+<br>Sup. L regular -> Sea a=0,b=1. Sup M es un autómata con k estados que lo reconoce. Sea ω=a^k.b^k. Es claro que ω<math>\in</math>L -> (2.5) <math>\exists</math> α, β, ρ | αβρ=ω y |αβ|≤k y <math>\forall</math> n, α.β^n.ρ<math>\in</math>L. Como ω=a^k.b^k y |αβ|≤k -> α y β están compuestas sólo de a´s. Por lo tanto, podemos decir que: α=a^t, β=a^s, ρ=a^[k-(s+t)].b^k, donde 1≤ s+t ≤ k y s ≥ 1. Es claro que: αβρ=ω
+<br>Como no se hicieron suposiciones adicionales con respecto a las cadenas, decir que <math>\forall</math> n, α.β^n.ρ<math>\in</math>L equivale a decir que <math>\forall</math> n, t+ns+k-(s+t)=k. Sin embargo tomando n=0, t+ns+k-(s+t) = t+k-(s+t) = k -> -s = 0. Pero s >= 1 (ABS) -> L no es regular.
------- No entiendo por que 01 = (01)^r = 10, me parece q hay un error en algun lado
-EDIT: El problema, es que estas tomando a "r" como un nro, cuando se trata de la reversa, por eso la demostracion no sirve para el ejercicio, y por eso es que 01 = (01)^r = 10.
-''i) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad par de ceros}''
-<br>ER: (1*|01*0)* -> L es regular
-''j) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad par de ceros o impar de unos}''
-<br>Sea L1 = {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad par de ceros}, L2 = {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad impar de unos}. ER de L1: (1*|01*0)*, ER de L2: 0*1(0*|10*1)*. L1 y L2 son regulares, y como L=L1 <math>\cup</math> L2 -> L es regular.
-''k) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad par de ceros e impar de unos}''
-<br> L = L1 <math>\cap</math> L2 (del ej. anterior) -> L es regular
-''l) {x<math>\in</math>{0, 1}*/x tiene cantidad de ceros divisible por k}''
-Es regular
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