Práctica 3 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 1

Sea A una matriz de $R^{(m\times n)}$ . Probar que las matrices $A\times A^{t}$ y $A^{t}\times A$ son simétricas. Mostrar mediante un ejemplo que pueden no ser iguales. Probar que si $A$ es cuadrada entonces $A+A^{t}$ es simétrica. ¿Qué sucede con $A-A^{t}$ ?

ver que una matriz es simétrica, es ver que esa matriz es igual a su transpuesta:

qvq $A\times A^{t}=(A\times A^{t})^{t}$:

$(A\times A^{t})^{t}=(A^{t})^{t}\times A^{t}=(A^{t})^{t}\times A^{t}=A\times A^{t}$

para el caso $A^{t}\times A$ es analogo.

ejemplo que $A\times A^{t}\neq A^{t}\times A$:

$A={\biggl (}{\begin{matrix}-1&1\\0&1\end{matrix}}{\biggr )}$

pruebelo usted mismo.

qvq $A+A^{t}=(A+A^{t})^{t}$:

$(A+A^{t})^{t}=A^{t}+(A^{t})^{t}=A^{t}+A=A+A^{t}$

$\therefore A+A^{t}$ es una matriz simétrica.

$(A-A^{t})^{t}=A^{t}-(A^{t})^{t}=-(A-A^{t})$

$\Leftrightarrow A-A^{t}\neq (A-A^{t})^{t}$

$\therefore A-A^{t}$ no es una matriz simétrica

Ejercicio 2

Probar que toda matriz cuadrada $A$ de $R^{n\times n}$ es expresable en forma unica como $A=S+T$ donde $S$ es simétrica y $T$ es antisimétrica (es decir, $T^{t}=-T$)

por ejercicio 1) sabemos que $A+A^{t}$ es simétrica y que $A-A^{t}$ es antisimétrica. luego tomamos $S={\frac {1}{2}}\times (A+A^{t})$ y $T={\frac {1}{2}}\times (A-A^{t})$ notar que una matriz simétrica o un antisimpetrica por un escalar sigue conservando esta propiedad. luego efectivamente $A$ se puede escribir de la forma

$S+T={\dfrac {A+A^{t}}{2}}+{\dfrac {A-A^{t}}{2}}={\frac {1}{2}}\times A+{\frac {1}{2}}\times A+{\frac {1}{2}}\times A^{t}-{\frac {1}{2}}\times A^{t}=A$

$\therefore \exists \ S,T/A=S+T\ \land S$simétrica y $T$ antisimétrica

Demostremos unicidad: supongamos $S'yT'$ simétrica y antisimétrica respectivamente tq $A=S'+T'\land S'\neq S\land T'\neq T$

$\Rightarrow S+T=S'+T'$

$\Leftrightarrow S-S'=T'-T$ (2)

por otra parte tenemos que:

$(S+T)^{t}=(S'+T')^{t}$

$\Leftrightarrow S-T=S'-T'$

$\Leftrightarrow S-S'=T-T'$

por (2):

$\Leftrightarrow T'-T=T-T'$

$\Leftrightarrow T'=T$ Abs!

Este absurdo vino de suponer que existia matrices distintas a las originales que satisfacian la ecuación.

$\therefore \exists !\ S,T/A=S+T\ \land S$simétrica y $T$ antisimétrica

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