Práctica 3 (LyC Verano)

Ejercicios

Ejercicio 1

Sea f: N -> N computable.

Item A

Demostrar que la función

g(x) = min {y : f(y) = x}  si existe y tal que f(y) = x
       se cuelga           si no

es parcialmente computable.

Solución

Damos un programa que computa g.

Z1 <- X1
[A] Z3 <- f(Z2)  //Dado que f es computable, supongo que tengo el progama homónimo que la calcula, 
                 //y además sé que no se cuelga.
IF Z3 = Z1 GOTO B
Z2 <- Z2 + 1
GOTO A
[B] Y <- Z2

La idea es sencillamente chequear si f(y) = x, empezando con y = 0 e incrementando de a uno. Si en algún momento esto ocurre, ese y es el que busca la minimización de la primer rama de g. Si no ocurre nunca, el programa sigue incrementando el valor chequeado infinitamente, o sea se cuelga.

Item B

Demostrar que si f es además biyectiva, f^-1 es computable.

Solución

Notar que el programa que dimos computa f^-1. Como f es biyectiva, es inyectiva. Esto asegura que el resultado de la expresión min{y:f(y) = x} devuelve no sólo el mínimo y, sino el único. Además, la sobreyectividad nos asegura la existencia de tal y, con lo cual el programa no puede colgarse.

Ejercicio 2

Sea f: N -> N una función computable y sobreyectiva. Probar que existe una función computable e inyectiva g: N -> N tal que g(f(x)) <= x para todo x perteneciente a N.

Solución

Es casi el mismo problema que en el ejercicio 1. Podríamos ver a g como una especie de generalización de f^-1. Si f es inyectiva y sobreyectiva (i.e. biyectiva) se puede definir una f^-1 tal que f^-1(x) = g(f(x)) = x, para todo x natural.

Si debilitamos la hipótesis sobre f, y sólo pedimos que sea sobreyectiva, pasa a haber más de un xi tal que g(f(xi)) = x. Pero siempre habrá un único x1 tal que g(f(x1)) = x y además x1 es más chico que todos los xi. Este x1 se encuentra con la minimización:

min{y : f(y) = x}

Por otra parte, esta minimización es computable, dado que está garantizado por la sobreyectividad de f la existencia de al menos un y que verifique f(y) = x. Nuevamente, esta función se computa con el programa del ejercicio 1, item A. Por último, g es inyectiva porque en la expresión f(y) = x, dos valores x1 y x2 distintos no pueden provenir del mismo y, dado que esto violaría la definición de función.

Ejercicio 5

Probar que la siguiente función es primitiva recursiva:

f(x) = 1 si x = <<a,b>,c> y fi(b,a) termina en menos de c pasos
       0 en otro caso

Solución

f(x) es pr porque tanto los valores que devuelve como las funciones utilizadas en las guardas lo son. La decodificación de x en a, b y c es pr. y el predicado "fi(b,a) termina en menos de c pasos" es computado por el programa STP(b,a,c), que es pr.

Ejercicio 6

Decimos que una funcion parcialmente computable f es extensible si existe g computalbe tal que g(x) = f(x) para todo x en el dominio de f. Probar que existe una funcion f parcialmente computable que no es extensible.

¿$f(x)=\Phi _{x}(x)$?

Sea $g(x_{1},\dots ,x_{n},y)={\begin{cases}min_{t}STP(x_{1},\dots ,x_{n},y,t)\ si\ \Phi _{y}(x_{1},\dots ,x_{n})\downarrow \\\uparrow \ sino\end{cases}}$

Supongamos ahora $g$ es extensible y sea $f$ computable la función que la extiende. Pero entonces, podríamos reescribir la función $Halt$ con $f$

$Halt(x_{1},\dots ,x_{n},y)=STP(x_{1},\dots ,x_{n},y,f(x_{1},\dots ,x_{n},y))$ Lo cual es absurdo, ya que $Halt$ no es computable y con esta definición es claramente computable. (la idea es que como $g$ te devuelve en qué número de "iteración" $y$ termina, no importa qué te devuelva la extensión $f$ ya que podés chequear si es fruta o es uno de los valores de $g$, chequeando con $STP$ si efectivamente $x$ terminó en la cantidad de pasos que te dijo f)

Ejercicio 10

Probar que las siguientes funciones no son computables

Item A

f(x) = 1  si $\Phi _{x}(x)=2x$
       0  si no

Supongo f es computable, por ende es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 2x+1  si f(x)
         2x    si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Supongo $\Phi _{e}(e)=2e$ $\Rightarrow f(e)\Rightarrow g(e,e)=\Phi _{e}(e)=2e+1\neq 2e$

Supongo $\Phi _{e}(e)\neq 2e$ $\Rightarrow \alpha (f(e))\Rightarrow g(e,e)=\Phi _{e}(e)=2e$

Absurdo que proviene de suponer que f es computable

Todos los items siguientes se resuelven con el mismo mecanismo

Item B

f(x) = 1  si $dom(\Phi _{x})=\emptyset$
       0  si no

Supongo f es computable

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 1  si f(x)
         $\uparrow$  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}=g(e)$

Evaluando g en e se llega al absurdo

Item C

f(x,y) = 1  si $\Phi _{x}=\Phi _{y}$
         0  si no

Supongo f es computable, por ende tambien total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = $\Phi _{y}+1$  si f(x,y)
         $\Phi _{y}$  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Sea a tal que $\Phi _{a}\downarrow$

Por teorema del parametro, $\exists s/\Phi _{s}=g(e,a)=\Phi _{e}(a)$

Evaluando g en (s,a) se llega al absurdo

Item D

f(x) = 1  si $Im(\Phi _{x})$ es infinita
       0  si no

Supongo f es computable, por ende tambien es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 0  si f(x)
         y  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Supongo $Im(\Phi _{e})infinita$, $\Rightarrow f(e)\Rightarrow (\forall y)g(e,y)=\Phi _{e}(y)=0\Rightarrow Im(\Phi _{e})={0}$

Supongo $Im(\Phi _{e})noinfinita$, $\Rightarrow \alpha (f(e))\Rightarrow (\forall y)g(e,y)=\Phi _{e}(y)=y\Rightarrow Im(\Phi _{e})=Naturales$

Item E

f(x) = 1  si $1\in dom(\Phi _{x})$
       0  si no

La condicion equivale a decir que $\Phi _{x}(1)\downarrow$

Supongo f es computable, por ende tambien es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = $\uparrow$  si f(x)
         0  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Evaluando g en (e,y) para todo y, se llega al absurdo

Ejercicio 14

Probar que si B es re y f es una funcion parcialmente computable, entonces $A={x:f(x)\in B}$ es re.

Como B es re, existe g parcialmente computable tal que $B={x:g(x)\downarrow }$

Para que A sea re, tiene que existir una funcion h parcialmente computable tal que $A={x:h(x)\downarrow }$.

Sea h = g(f(x)), parcialmente computable por ser composicion de pc. $g(f(x))=f(x)\in B$

Entonces A es re.

Ejercicio 17

Definir un predicado pr P tal que $A={x:(\forall y)P(x,y)}$ no sea re.

Sea $P(x,y):=STP(x,x,y)=0$ Como STP es p.r., $P(x,y)$ es claramente p.r. también Notemos ahora que $B=\{x:(\forall y)STP(x,x,y)=0\}$ es lo mismo que $B=\{x|\Phi _{x}(x)\uparrow \}$ , o sea, es el complemento del famoso conjunto $K$ (x tal que Halt(x,x)), que ya sabíamos que no es r.e. porque lo probamos en la teórica/práctica.

Ejercicio 20

Demostrar que las funciones definidas en el Ejercicio 10 no son computables aplicando el Teorema de Rice

Item C

f(x,y) = 1  si $\Phi _{x}=\Phi _{y}$
         0  si no

A = {x: $\Phi _{x}=\Phi _{0}$}

Quiero ver que A no es computable por Rice. Para esto tengo que probar que:

1. $A\neq \emptyset$

A representa el conjunto de los programas que computan el programa 0 (aquel que devuelve 0 para toda entrada).

Ejemplo: el programa que computa f(x,y) donde

f(x,y) = (x>y).(y-x)+(x<=y).(x-y)

claramente, esta función hace lo mismo que #P=0 donde P es el programa que computa a

n(x) = 0

Entonces, $A\neq \emptyset$

2. $A\neq N$

Ejemplo: el programa que computa la función constante

g(x) = 8

Además, puede verse que hay programas que no están en A

Entonces, $A\neq N$

3. A es un conjunto de índices

Se dice que A es un conjunto de índices si dado C una clase de funciones parcialmente computables A es el conjunto de los programas que computan a dichas funciones. En este caso, A es el conjunto de los programas que computan lo mismo que $\Phi _{0}$ (la función nula). Entonces dado x perteneciente a A y $\Phi _{x}=\Phi _{y}$ --> y pertenece a A.

Muy bien, ahora, por Rice, A no es computable

Supongo f computable. Entonces f(x,0) es computable. Pero f(x,0) = g(x) es la función característica de A. Absurdo, porque A no es computable --> f no es computable :)

El resto sale de la misma forma :)