Práctica 2 (LyC Verano)

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Ejercicio 1

Sean las funciones totales y . Sabiendo que la suma es una función recursiva, analizar si las siguientes definiciones de son definiciones por recursión primitiva a partir de y .

Para cada una de las definiciones que representen una recursión primitiva, especificar las funciones asociadas al esquema de recursión primitiva a partir del cual se obtiene .

Ítem a

Solución

La función no es recursiva, alcanza con ver que si , nunca se puede descender al caso base.


Ítem b

Solución

Definamos f(x,y) = f'(x,y,y), Donde f' es

f'(x,y,0) = <math>\phi</math>(x,x)
f'(x,y,i+1) = <math>\phi</math>((f'(x,y,i), y-i) = g(i, f'(x,y,i), x, y)

Entonces f' es PR -> f es PR

Ítem c

Solución

Se define:

Que es p. r. por ser suma y composición. Luego,

Que es la forma buscada.


Ítem d

Solución

Se define:

Que es p. r. por ser suma y composición. Luego,

Que es la forma buscada.


Ejercicio 2

Probar que las siguientes funciones son primitivas recursivas, mostrando que pueden obtenerse a partir de las funciones iniciales o a través de composición o recursión primitiva.

Ítem a

Solución

Definimos primero el decremento:

Luego,

Ítem b

Solución

Definimos la resta acotada:

Luego,


Ítem c

Solución

Definimos la negación:

Luego,


Ítem d

Solución

Ítem e

Solución

Definimos producto:

Ítem f

Solución

Definimos igualdad,

Luego,

Ejercicio 3

Sean y funciones primitivas recursivas. Mostrar que las siguientes funciones también son primitivas recursivas.

Ítem a

La función definida como:

Solución

Definimos exponenciación:

Luego definimos una función auxiliar:

Entonces:

Ítem b

La función definida como:

Solución

Definimos una función auxiliar:

Ítem c

La función definida como:

Solución

Definimos una función auxiliar:

Luego,

Ejercicio 4

Usar las definiciones por sumas y/o productos acotados para establecer la recursividad primitiva de cada una de las siguientes funciones. Suponer que es una función primitiva recursiva.

Ítem a

Solución

Ítem b

Solución

Ítem c

Solución

Ejercicio 5

Probar que las funciones y del ejercicio 8 de la práctica de funciones computables son primitivas recursivas, siempre que g, s y t lo sean.

Solución

Primer problema:

Segundo problema. Primero definimos una función auxiliar:

Luego,

Ejercicio 6

Probar que las funciones dadas a continuación son primitivas recursivas. Pueden usarse como funciones auxiliares las dadas en las clases teóricas y prácticas o las ya calculadas anteriormente.

Ítem a

Solución

Ítem b

Solución

Ítem c

el n-ésimo dígito en la representación binaria de , contando desde la derecha y comenzado con 0.

Así, , , , , , etc.

Solución

Ítem d

el número de unos en la representación binaria de .

Solución

Ítem e

es la cantidad de números primos entre y .

Solución


Ejercicio 7

Mostrar que la función es primitiva recursiva.

Solución


Ejercicio 8

Mostrar que la función definida como

cantidad de apariciones de en la lista

para todo es primitiva recursiva.

Solución

Ejercicio 9

Para , se define , donde la secuencia es una permutación de . Mostrar que es primitiva recursiva.

Solución

Sabemos que podemos obtener una secuencia ordenada con una serie de permutaciones de a dos elementos que están fuera de orden el uno con respecto al otro, como lo hace Bubble Sort. (Habría que probar esto?)

Entonces, comparamos el paso y el paso , observando la secuencia como un número de Gödel:

En el paso tenemos: , donde se observan los dos elementos que se van a permutar y la constante que representa al resto de la secuencia que no se modifica.

En el paso queda: .

Además, sabemos que , y que (porque están fuera de orden), entonces:

Luego,

Y por lo tanto, si este procedimiento nos permite llegar de cualquier secuencia a una secuencia ordenada, tenemos que el número de Gödel de la secuencia ordenada es el mayor de los números de todas las permutaciones.

Entonces, definimos una función que busca el mayor elemento de la secuencia:

Definimos una cota:

Y finalmente, buscamos la máxima permutación:

Ejercicio 10

Mostrar que la función de Fibonacci

es primitiva recursiva.

Solución

Definimos una función auxiliar:

Entonces:

Ejercicio 11

Sea una función primitiva recursiva. Mostrar que la función definida como

para todo es primitiva recursiva.

Solución