Práctica 2: Complejidad (Algoritmos III)

Ejercicio 02.01:

log(2,n) + 1

Ejercicio 02.02:

No. Base 1 requiere espacio O(n), y las demas O(log n)

Ejercicio 02.03:

(Cuentas Cuentas..)
a)
b)
c)

Ejercicio 02.04:

a)
i. f = n <= 1*n (todo n) -> f es O(n)
ii. f = 3*n^2 + 7*n + 4 <= 4*n^2 (n>=8) -> f es O(n^2)
iii.f = n^i <= 1*n^j (todo n) <=> i < j -> f es O(n^j) <=> i < j
iv. f = n*log n <= 1*n^2 (todo n) -> f es O(n^2)

b) Sup. Ex. k en R / n! <= k* r^n <=> n!/r^n <= k. Pero lim{n->∞} n!/r^n = ∞ (ABS)

Ejercicio 02.05:

Modelo Uniforme:
b) O(d)
d) O(n^2)

Modelo Logaritmico:
a) O(log(x))+O(log(y))
c) O(nlog(n))

Ejercicio 02.06:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.07:

a)

	int bin2dec(string s)
	res = 0;
	para i = |s|-1..0
		si (s[i]=='1')
			res += 2^i;
	devolver res;

b) No. Podria no parar nunca
c) Si
d)

	string dec2bin(int n)
	res = <>;
	while (n != 0)
		si (n % 2 != 0)
			res += '1';
		sino
			res += '0';
		n /= 2;
	devolver res;

Ejercicio 02.08:

a)
b)

import math
import sys

def primes(n): 
	if n==2: return [2]
	elif n<2: return []
	s=range(3,n+1,2)
	mroot = n ** 0.5
	half=(n+1)/2-1
	i=0
	m=3
	while m <= mroot:
		if s[i]:
			j=(m*m-3)/2
			s[j]=0
			while j<half:
				s[j]=0
				j+=m
		i=i+1
		m=2*i+3
	return [2]+[x for x in s if x]

def isprime(aNumber):
	if aNumber < 2: return False
	if aNumber == 2: return True
	if (( aNumber / 2 ) * 2 == aNumber) : 
		return False
	else:
		klist = primes(int(math.sqrt(aNumber+1)))
		for k in klist[1:]:
			if (( aNumber / k ) * k == aNumber ): return False
		return True


a = int(sys.argv[1])
b = int(sys.argv[2])
i = 2

while(i < max(a,b)):
	if isprime(a):
		if (b%a == 0):
			b = b/a
			a = a/a
		else:
			break
	elif isprime(b):
		if a%b == 0:
			a = a/b
			b = b/b
		else:
			break
	else:
		if isprime(i):
			if(a%i == 0 and b%i == 0):
				a = a/i
				b = b/i
			else:
				i = i + 1
		else:
			i = i + 1
	
print str(a) + "/" + str(b)

c)

Ejercicio 02.09:

a) No recursivo

import math
import sys

##mientras b ? 0 repetir las tres instrucciones siguientes:
##
##    r ? resto de a entre b     (dar a r el valor del resto de a por b)      
##    a ? b     (el nuevo valor de a es el antiguo valor de b)
##    b ? r     (el nuevo valor de b es el valor de r)
##
##* el resultado es a (su último valor).

a = sys.argv[1]
b = sys.argv[2]
a = float(a)
b = float(b)

while b != 0:
    r = a % b
    a = b
    b = r

print a    

Recursivo

import sys
import math

def Euclides(a,b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        r = a%b
        return Euclides(b,r)
    
a = sys.argv[1]
b = sys.argv[2]
a = float(a)
b = float(b)

print Euclides(a,b)

b)
c)
d)

Ejercicio 02.10:

a)
b)
c)
d)
e)

Ejercicio 02.13:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.14:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Ejercicio 02.15:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.16:

a)
b)
c)
d)
e)

Ejercicio 02.17:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.18:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.19:

a)
b)
c)

Ejercicio 02.21:

Construir una maquina de Turing deterministica que resuelva el problema de si un numero entero es divisible por 4

El abecedario de esta maquina es {B,0,1}. El elemento default de la cinta es el 0 y el numero a trabajar se encuentra expresado en base uno y el mismo comiensa con una B.

ej: 5 % 4 =? 0 ---00000000B111110000000000---

los estado posibles son {q0,q1,q2,q3,q4,qt,qf} el estado inicial es q0,B y el algoritmo devuelve qt si lo divide o qf sino

(q0,B,q0,b.+) (q1,1,q2,1.+) (q2,1,q3,1.+) (q3,1,q4,1.+) (q4,1,q1,1.+)
(q1,1,q2,1.+) (q0,0,qf,*.*) (q2,0,qf,*.*) (q3,0,qf,*.*) (q4,0,qt,*.*)
(q0,0,qf,*.*)

(nota al pie):la complejidad de este algoritmo me suena q es O(n) no se como demostrarlo

Ejercicio 02.22:

a) Algoritmo:

1.si (actual != b)
	avanzo
2.sino
	volver 1 lugar hacia atras
3.si (cinta == ultimo guardado)
	tachamos cinta con b
	nos movemos al anterior y guardamos
	(pero si es blanco ir a SI)
	volvemos a 1
sino
	ir a NO

b)