Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO

Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; B=\left\{1,2, {3}, -3\right\}} . NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2,0,-1,-2 \right\}; B=\left\{x \in \Re / |x+3| \leq 1 \right\}} . NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; =\left\{1,2,3,4,5\right\}} ESTÁ INCLUÍDO
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{\emptyset \right\}; B=\emptyset } . NO ESTÁ INCLUÍDO
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{x \in \Re / 2 \leq |x| \leq 3 \right\} ; B = \left\{ x \in \Re / x^2 < 3 \right\} } . NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup B = \left\{-8,-5,-3,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - B = \left\{1,5,8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \Delta B = \left\{-8,-5,-1,1,5,8 \right\} }

Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}} hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{ n \in N | n \leq 132 \right\}}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' = \left\{ 15,60,45,60,75,90,105,120 \right\} }

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \Delta C )= \left\{ 1,-2,3 \right\} }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \Delta B ) - C = \left\{ 7, \left\{3 \right\} , 10 \right\} }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B) \cap C = \left\{ -2, 3 \right\} }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cup B' ) \cap C = \left\{ -2, \left\{1,2,3 \right\} , 3 \right\} }
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' \cap B' \cap C' = \emptyset }
vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B' ) \Delta C = \left\{ 1, -2, \left\{ 1, 2, 3 \right\} , 3 \right\} }

Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8

Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cap (B' \cup C' ) ) \cup ( (B \cap C) \cap A' ) }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( ( A \cap C' ) \cup ( C \cap A')) \cap B' }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)) \cap (A \cap B \cap C)' }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((( A \cap B') \cup (B \cap A')) \cap C' ) \cup ( C \cap ( (A' \cup B) \cap ( B' \cup A)) }

Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup (B \cap C ) = ( A \cup B) \cap C }

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}

ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \cup B)' = A' \cap B' }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \and x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') }

iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \Delta B ) \subseteq (A \Delta C) \cup ( B \Delta C) }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \Delta B) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) \Rightarrow }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1) ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; (x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

y:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2) ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \notin B \and ( ( x \in A \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in C))) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in B \and (( x \notin A \and x \in C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C))) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \notin B \and x \in ( A \Delta C)) \; \or \; ( x \in B \and ( x \in ( A \Delta C)) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in ( A \Delta C) \and ( x \in B \or x \notin B) \Rightarrow }
Por tautología:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in ( A \Delta C) }

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \Delta C) } y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \Delta C) \; \or \; x \in ( A \Delta C) \Rightarrow x \in (A \Delta C ) \cup ( B \Delta C) }