Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO

Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) $A=\left\{1,2,{\sqrt {9}}\right\};B=\left\{1,2,\left\{3\right\},-3\right\}$. NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) $A=\left\{1,2,0,-1,-2\right\};B=\left\{x\in \Re /|x+3|\leq 1\right\}$. NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) $A=\left\{1,2,{\sqrt {9}}\right\};=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ESTÁ INCLUÍDO
iv) $A=\left\{\emptyset \right\};B=\emptyset$. NO ESTÁ INCLUÍDO
v) $A=\left\{x\in \Re /2\leq |x|\leq 3\right\};B=\left\{x\in \Re /x^{2}<3\right\}$. NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:

$A\cap B=\left\{3,7,11\right\}$
$A\cup B=\left\{-8,-5,-1,1,3,5,7,8,11\right\}$
$A-B=\left\{1,5,8\right\}$
$B-A=\left\{-1,-5,-8\right\}$
$A\triangle B=\left\{-8,-5,-1,1,5,8\right\}$

Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial $V=\left\{n\in N|n\;es\;multiplo\;de\;15\right\}$ hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por $A=\left\{n\in N|n\geq 132\right\}$

$A'=\left\{15,30,45,60,75,90,105,120\right\}$

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) $A\cap (B\triangle C)=\left\{1,-2,3\right\}$
ii) $(A\triangle B)-C=\left\{7,\left\{3\right\},10\right\}$
iii) $(A-B)\cap C=\left\{-2,3\right\}$
iv) $(A\cup B')\cap C=\left\{-2,\left\{1,2,3\right\},3\right\}$
v) $A'\cap B'\cap C'=\emptyset$
vi) $(A-B')\triangle C=\left\{1,-2,\left\{1,2,3\right\},3\right\}$

Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8

Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) $(A\cap (B'\cup C'))\cup ((B\cap C)\cap A')$
ii) $((A\cap C')\cup (C\cap A'))\cap B'$
iii) $((A\cap B)\cup (B\cap C)\cup (C\cap A))\cap (A\cap B\cap C)'$
iv) $(((A\cap B')\cup (B\cap A'))\cap C')\cup (C\cap ((A'\cup B)\cap (B'\cup A))$

Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.

i) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}

ii) $(A\cup B)'=A'\cap B'$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\cup B)\Longleftrightarrow x\notin A\wedge x\notin B\Longleftrightarrow x\in A'\wedge x\in B'\Longleftrightarrow x\in (A'\cap B')$

iii) $(A\triangle B)\subseteq (A\triangle C)\cup (B\triangle C)$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\notin B)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B)\Rightarrow$
$(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\in C)\;\vee \;$

$\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\notin B\wedge x\in C)$

Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:

$(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\;\vee$
$\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\in C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee$
$\vee \;(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\;\vee$
$\vee \;(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\notin B\wedge x\in C)$

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.

$(1)(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\in C)\;\vee$
$\vee \;(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\notin B\wedge x\in C)$

y:

$(2)(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\;\vee$
$\vee \;(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\notin B\wedge x\in C)$

Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:

$(x\notin B\wedge ((x\in A\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in C)))\;\vee$
$\vee \;(x\in B\wedge ((x\notin A\wedge x\in C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin C)))$
$\Longleftrightarrow (x\notin B\wedge x\in (A\triangle C))\;\vee \;(x\in B\wedge (x\in (A\triangle C))$
$(x\in (A\triangle C)\wedge (x\in B\vee x\notin B)\Rightarrow$
Por tautología:
$x\in (A\triangle C)$

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que $x\in (B\triangle C)$ y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
$x\in (B\triangle C)\;\vee \;x\in (A\triangle C)\Rightarrow x\in (A\triangle C)\cup (B\triangle C)$

iv) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\cap (B\cup C))\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\in (B\cup C)\Longleftrightarrow x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)$

$\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)\;\vee \;(x\in A\wedge x\in C)\Longleftrightarrow x\in (A\cap B)\;\vee \;x\in (A\cap C)$

$x\in ((A\cap B)\cup (A\cap C))$

v) $C\subseteq A\Rightarrow (B\cap C)\subseteq (A\triangle B)'$

VERDADERO. Demostración:

Sabemos por hipótesis que $C\subseteq A$, es decir, que $x\in C\Rightarrow x\in A$

$x\in (B\cap C)\Longleftrightarrow x\in B\wedge x\in C\Rightarrow x\in B\wedge x\in A\Rightarrow$

$\Rightarrow (x\in B\wedge x\in A)\;\vee \;(x\notin B\wedge x\notin A)\Rightarrow x\in (B\cap A)\;\vee \;x\in (A\cup B)'$

$\Rightarrow x\in ((A\cup B)-(B\cap A))'\Rightarrow x\in (B\triangle A)'$

vi) $A\triangle B=\emptyset \Longleftrightarrow A=B$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cup (B-A))$
$(A-B)\cup (B-A)=\emptyset \Longleftrightarrow A-B=\emptyset \;\wedge \;B-A=\emptyset$

• $A-B=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in A\wedge x\notin B\Longleftrightarrow A\subseteq B$
  
• $B-A=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in B\wedge x\notin A\Longleftrightarrow B\subseteq A$
  

$A\subseteq B\;\wedge \;B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B$

vii) $(A\triangle B)-C)=(A-C)\triangle (B-C)$

VERDADERO. Demostración:

$x\in ((A\triangle B)-C)\Longleftrightarrow x\in (A\triangle B)\wedge x\notin C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow ((x\in A\wedge x\notin B)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B))\wedge x\notin C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\Longleftrightarrow$

Uniendo conjuntos vacíos:

$(x\in A\wedge x\notin C\wedge x\in C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin C\wedge x\notin B)\;\vee \;$

$\vee \;((x\notin A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\vee (x\in C\wedge x\in B\wedge x\notin C))\Longleftrightarrow$

$((x\in A\wedge x\notin C)\wedge (x\notin B\vee x\in C))\;\vee \;((x\notin A\vee x\in C)\wedge (x\in B\wedge x\notin C))$

$\Longleftrightarrow (x\in (A-C)\wedge x\in (B-C)')\;\vee \;(x\in (A-C)'\wedge x\in (B-C))\Longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow x\in ((A-C)\triangle (B-C))$

viii) $A\triangle \emptyset =A$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\triangle \emptyset )\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\notin \emptyset )\;\vee \;(x\notin A\wedge x\in \emptyset )\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\notin \emptyset \Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A$

Ejercicio 10

Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:

i) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$x\in (A\;\cup \;(B\;\cap \;C))\Longleftrightarrow x\in A\;\vee \;x\in (B\;\cap \;C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\;\vee \;(x\in B\;\wedge \;x\in C)\Longleftrightarrow (x\in A\;\vee \;x\in B)\;\wedge \;(x\in A\;\vee \;x\in C)$

$\Longleftrightarrow x\in ((A\;\cup \;B)\;\cap \;(A\;\cup \;C))$

ii) $(A\cap B)'=A'\cup B'$

$x\in (A\cap B)'\Longleftrightarrow x\notin (A\cap B)\Longleftrightarrow x\notin A\wedge x\notin B\Longleftrightarrow x\in (A'\cup B')$

iii) $A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$

$x\in (A\cap (B\triangle C))\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\in (B\triangle C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\wedge ((x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\notin B\wedge x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\Longleftrightarrow$

$(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin (A\cap C))\;\vee \;(x\in A\wedge x\notin (A\cap B)\wedge x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in (A\cap B)\wedge x\in (A\cap C)')\;\vee (x\in (A\cap C)\wedge x\in (A\cap B)')$

$x\in (A\cap B)\triangle (A\cap C)$

iv) $A-(B-C)=(A-B)\cup (A\cap C)$

$x\in (A-(B-C))\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\notin (B-C)\Longleftrightarrow x\in A\wedge (x\notin B\vee x\in C)$

$\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\notin B)\;\vee \;(x\in A\wedge x\in C)\Longleftrightarrow x\in (B-C)\;\vee \;x\in (A\cap C)$

$\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cup (A\cap C))$

v) $A-(A\triangle B)=(A\cap B)$

$x\in (A-(A\triangle B))\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\notin (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\notin (A\cup B)\wedge x\in (A\cap B)$

$\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\in (A\cap B)\Longleftrightarrow x\in (A\cap B)$

vi) $(A\cap C)-B=(A-B)\cap C$

$x\in ((A\cap C)-B)\Longleftrightarrow x\in (A\cap C)\wedge x\notin B\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in (A-B)\wedge x\in C\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cap C)$

vii) $A\subseteq B\Rightarrow A\triangle B=B\cap A'$

$x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in (A-B)\;\vee \;x\in (B-A)$ Pero como $A\subseteq B\Rightarrow A-B=\emptyset$

$x\in (A-B)\vee x\in (B-A)\Longleftrightarrow x\in \emptyset \vee x\in (B-A)\Longleftrightarrow x\in (B\cap A')$

viii) $A\subseteq B\Longleftrightarrow B'\subseteq A'$

Sabemos que $p\Rightarrow q$ implica $\neg q\Rightarrow \neg p$

$A\subseteq B\Longleftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\Longleftrightarrow (x\notin B\Rightarrow x\notin A)\Longleftrightarrow B'\subseteq A'$

ix) $C\subseteq A\Rightarrow (A\cup B)\cap C'=(B-C)\cup (A\triangle C)$

$x\in (A\cup B)\cap C'\Longleftrightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge x\notin C\Longleftrightarrow$

$(x\in A\wedge x\notin C)\vee (x\in B\wedge x\notin C)$ como $C\subseteq A\Rightarrow C-A=\emptyset$. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que

$(x\in A\wedge x\notin C)\vee (x\in B\wedge x\notin C)\Longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\notin C)\vee (x\notin A\wedge x\in C)\vee (x\in B\wedge x\notin C)\Longleftrightarrow$

$x\in (A-C)\vee x\in (C-A)\vee (B-C)\Longleftrightarrow x\in ((A\triangle )\cup (B-C))$

ix) $A\cap C=\emptyset \Rightarrow A\cap (B\triangle C)=A\cap B$

$x\in (A\cap (B\triangle C))\Longleftrightarrow x\in A\wedge x\in (B\triangle C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\wedge ((x\in B\wedge x\notin C)\vee (x\notin B\wedge x\wedge x\in C))\Longleftrightarrow$

$(x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\vee (x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)$

Como $\not \exists x/x\in A\wedge x\in C\Rightarrow (x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\vee (x\in A\wedge x\notin B\wedge x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin C)\;con\;A\cap C=\emptyset \Longleftrightarrow x\in A\;\wedge \;x\in B\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in (A\cap B)$

Ejercicio 11

Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos

i) $A=\emptyset$

$P(A)=\left\{\emptyset \right\}$

ii) $A=\left\{1\right\}$

$P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\}\right\}$

iii) $A=\left\{a,b\right\}$

$P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b\right\}\right\}$

iv) $A=\left\{1,a,\left\{-1\right\}\right\}$ $P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{a\right\},\left\{\left\{-1\right\}\right\},\left\{1,a\right\},\left\{a,\left\{-1\right\}\right\},\left\{a,\left\{-1\right\}\right\},\left\{1,a,\left\{-1\right\}\right\}\right\}$

v) $A=\left\{1,\left\{1,2\right\}\right\}\;\;\;\;P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{\left\{1,2\right\}\right\},\left\{1,\left\{1,2\right\}\right\}\right\}$

vi) $A=\left\{1,3,5,\emptyset \right\}$ $P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{3\right\},\left\{5\right\},\left\{\emptyset \right\},\left\{1,3\right\},\left\{3,5\right\},\left\{5,\emptyset \right\},\left\{1,\emptyset \right\},\left\{1,5\right\},\left\{3,\emptyset \right\},\left\{1,3,5\right\},\left\{1,3,\emptyset \right\},\left\{1,5,\emptyset \right\},\left\{3,5,\emptyset \right\},\left\{1,3,5,\emptyset \right\}\right\}$