Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO

Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) $A=\left\{1,2,{\sqrt {9}}\right\};B=\left\{1,2,{3},-3\right\}$. NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) $A=\left\{1,2,0,-1,-2\right\};B=\left\{x\in \Re /|x+3|\leq 1\right\}$. NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) $A=\left\{1,2,{\sqrt {9}}\right\};=\left\{1,2,3,4,5\right\}$ ESTÁ INCLUÍDO
iv) $A=\left\{\emptyset \right\};B=\emptyset$. NO ESTÁ INCLUÍDO
v) $A=\left\{x\in \Re /2\leq |x|\leq 3\right\};B=\left\{x\in \Re /x^{2}<3\right\}$. NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:

$A\cap B=\left\{3,7,11\right\}$
$A\cup B=\left\{-8,-5,-3,-1,1,3,5,7,8,11\right\}$
$A-B=\left\{1,5,8\right\}$
$B-A=\left\{-1,-5,-8\right\}$
$A\Delta B=\left\{-8,-5,-1,1,5,8\right\}$

Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial $V=\left\{n\in N|n\;es\;multiplo\;de\;15\right\}$ hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por $A=\left\{n\in N|n\leq 132\right\}$

$A'=\left\{15,60,45,60,75,90,105,120\right\}$

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) $A\cap (B\Delta C)=\left\{1,-2,3\right\}$
ii) $(A\Delta B)-C=\left\{7,\left\{3\right\},10\right\}$
iii) $(A-B)\cap C=\left\{-2,3\right\}$
iv) $(A\cup B')\cap C=\left\{-2,\left\{1,2,3\right\},3\right\}$
v) $A'\cap B'\cap C'=\emptyset$
vi) $(A-B')\Delta C=\left\{1,-2,\left\{1,2,3\right\},3\right\}$

Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8

Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) $(A\cap (B'\cup C'))\cup ((B\cap C)\cap A')$
ii) $((A\cap C')\cup (C\cap A'))\cap B'$
iii) $((A\cap B)\cup (B\cap C)\cup (C\cap A))\cap (A\cap B\cap C)'$
iv) $(((A\cap B')\cup (B\cap A'))\cap C')\cup (C\cap ((A'\cup B)\cap (B'\cup A))$

Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.

i) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}

ii) $(A\cup B)'=A'\cap B'$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\cup B)\Longleftrightarrow x\notin A\land x\notin B\Longleftrightarrow x\in A'\land x\in B'\Longleftrightarrow x\in (A'\cap B')$

iii) $(A\Delta B)\subseteq (A\Delta C)\cup (B\Delta C)$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\Delta B)\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B)\Rightarrow$
$(x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor \;$

$\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)$

Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:

$(x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor$
$\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor$
$\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor$
$\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)$

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.

$(1)(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor$
$\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)$

y:

$(2)(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor$
$\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)$

Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:

$(x\notin B\land ((x\in A\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in C)))\;\lor$
$\lor \;(x\in B\land ((x\notin A\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin C)))$
$\Longleftrightarrow (x\notin B\land x\in (A\Delta C))\;\lor \;(x\in B\land (x\in (A\Delta C))$
$(x\in (A\Delta C)\land (x\in B\lor x\notin B)\Rightarrow$
Por tautología:
$x\in (A\Delta C)$

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que $x\in (B\Delta C)$ y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
$x\in (B\Delta C)\;\lor \;x\in (A\Delta C)\Rightarrow x\in (A\Delta C)\cup (B\Delta C)$