Edición de «Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)»

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==Ejercicio 1==
Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i)    3 ∈ A.  FALSO <br>
ii)   {1,2} ⊆ A. VERDADERO <br>
iii)  {1,2} ∈ A. VERDADERO <br>
iv)   {3} ⊆ A. FALSO <br>
v)    { {3} } ⊆ A. VERDADERO <br>
vi)   Ø ∈ A. FALSO <br>
vii)  {-1,2} ⊆ A. VERDADERO <br>
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO <br>
ix)   {1,2,-1} ∈ A. FALSO


==Ejercicio 2==
Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) <math> A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\};  B=\left\{1,2,\left\{3\right\}, -3\right\}</math>.      NO ESTÁ INCLUÍDO.<br>
ii) <math> A = \left\{1,2,0,-1,-2 \right\};  B=\left\{x \in \Re / |x+3| \leq 1 \right\}</math>.        NO ESTÁ INCLUIDO. <br>
iii) <math> A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; =\left\{1,2,3,4,5\right\}</math> ESTÁ INCLUÍDO <br>
iv) <math> A = \left\{\emptyset \right\}; B=\emptyset </math>. NO ESTÁ INCLUÍDO <br>
v) <math> A = \left\{x \in \Re / 2 \leq |x| \leq 3 \right\} ; B = \left\{ x \in \Re / x^2 < 3 \right\} </math>.   NO ESTÁ INCLUÍDO.

==Ejercicio 3==
Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar: <br><br>
<math> A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}</math><br>
<math>A \cup B = \left\{-8,-5,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}</math><br>
<math>A - B = \left\{1,5,8 \right\}</math><br>
<math>B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}</math><br>
<math>A \triangle B = \left\{-8,-5,-1,1,5,8 \right\} </math><br>

==Ejercicio 4==
Dado el conjunto referencial <math>V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}</math>
hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por <math> A = \left\{ n \in N | n \leq 132 \right\}</math>

<math>A' = \left\{ 15,30,45,60,75,90,105,120 \right\} </math>


==Ejercicio 5==
Dado el conjunto referencial  V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) <math> A \cap ( B \triangle C )= \left\{ 1,-2,3 \right\} </math> <br>
ii) <math> ( A \triangle B ) - C = \left\{ 7, \left\{3 \right\} , 10 \right\} </math><br>
iii) <math> ( A - B) \cap C = \left\{ -2, 3 \right\} </math><br>
iv) <math> ( A \cup B' ) \cap C = \left\{ -2, \left\{1,2,3 \right\} , 3 \right\} </math> <br>
v) <math> A' \cap B' \cap C' = \emptyset </math> <br>
vi) <math> ( A - B' ) \triangle C = \left\{ 1, -2, \left\{ 1, 2, 3 \right\} , 3 \right\} </math> <br>


==Ejercicio 6==
En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar<br>

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?<br>
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?<br>
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?<br>
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?<br>
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?<br><br>


i) 41<br>
ii) 9<br>
iii) 1<br>
iv) 17<br>
v) 8<br>


==Ejercicio 8==
Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn ''(ver la práctica)'', utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) <math> ( A \cap (B' \cup C' ) ) \cup ( (B \cap C) \cap A' ) </math> <br>
ii) <math> ( ( A \cap C' ) \cup ( C \cap A')) \cap B' </math><br>
iii) <math> ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)) \cap (A \cap B \cap C)' </math> <br>
iv) <math> ((( A \cap B') \cup (B \cap A')) \cap C' ) \cup ( C \cap ( (A' \cup B) \cap ( B' \cup A)) </math>


==Ejercicio 9==
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.






'''i)''' <math> A \cup (B \cap C ) = ( A \cup B) \cap C  </math> <br><br>

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
C = {1, 3, 4}







'''ii)''' <math> (A \cup B)' = A' \cap B' </math> <br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>
<math> x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \wedge x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') </math>






'''iii)''' <math> (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) </math><br><br>
VERDADERO. Demostración: <br><br>
<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) \Rightarrow </math><br>
<math> ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; </math><br>

<math> \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math><br><br>
Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:<br><br>

<math> ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee </math><br>
<math> \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee </math><br>
<math>\vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee </math><br>
<math>\vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math><br><br>

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.<br><br><br>

<math>  (1)   ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; (x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee </math><br>
<math> \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math> <br><br>

y: <br><br>

<math> (2) ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee </math><br>
<math> \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math> <br><br>

Trabajemos con (1):
<br> Reordenando y reagrupando:
<br><br><math> ( x \notin B \wedge ( ( x \in A \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in C))) \; \vee </math><br>
<math> \vee \; ( x \in B \wedge (( x \notin A \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C))) </math><br>
<math> \Longleftrightarrow  ( x \notin B \wedge x \in ( A \triangle C)) \; \vee \; ( x \in B \wedge ( x \in ( A \triangle C)) </math><br>
<math> ( x \in ( A \triangle C) \wedge ( x \in B \vee x \notin B) \Rightarrow </math> <br>
Por tautología:
<br>
<math> x\in ( A \triangle C) </math><br><br>

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que <math> x \in ( B \triangle C) </math> y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
<br>
<math> x \in ( B \triangle C) \; \vee \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) </math>







'''iv)''' <math> A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B) \cup ( A \cap C)</math><br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>

<math> x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in (  B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \in B \vee x \in C )</math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) </math>

<math> x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) </math>







'''v)''' <math> C \subseteq A \Rightarrow ( B \cap C ) \subseteq (A \triangle B)' </math><br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>

Sabemos por hipótesis que <math> C \subseteq A </math>, es decir, que <math> x \in C \Rightarrow x \in A </math>

<math> x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \wedge x \in C  \Rightarrow x \in B \wedge x \in A \Rightarrow </math>

<math> \Rightarrow ( x \in B \wedge x \in A) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \notin A ) \Rightarrow x \in ( B \cap A ) \; \vee \;  x \in ( A \cup B )' </math>

<math> \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' </math>







'''vi)''' <math> A \triangle B = \emptyset \Longleftrightarrow A = B </math><br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>

<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) </math><br>
<math> (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow  A - B = \emptyset \; \wedge \; B - A = \emptyset </math>
*<math> A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow A \subseteq B </math><br>
*<math> B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \wedge x \notin A \Longleftrightarrow B \subseteq A </math><br>

<math> A \subseteq B \; \wedge \; B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B </math>







'''vii)''' <math> ( A \triangle B ) - C ) = ( A - C ) \triangle ( B - C ) </math><br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>

<math> x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow ( ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \Longleftrightarrow </math>

Uniendo conjuntos vacíos:

<math> ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \in C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \notin B) \; \vee \; </math>

<math> \vee \; (  ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in C \wedge x \in B \wedge x \notin C ) ) \Longleftrightarrow </math>

<math> ( ( x \in A \wedge x \notin C ) \wedge ( x \notin B \vee x \in C ) ) \; \vee \; ( ( x \notin A \vee x \in C ) \wedge ( x \in B \wedge x \notin C ) ) </math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \wedge x \in ( B - C )' ) \; \vee \; ( x \in ( A - C ) ' \wedge x \in ( B - C ) ) \Longleftrightarrow </math>
<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) </math>






'''viii)''' <math> A \triangle \emptyset = A </math><br>

VERDADERO. Demostración: <br><br>

<math> x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin \emptyset) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in \emptyset ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin \emptyset \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in A </math>

== Ejercicio 10 ==

Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:



'''i)''' <math> A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C)</math>



<math> x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; x \in ( B \; \cap \; C ) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; ( x \in B \; \wedge \; x \in C ) \Longleftrightarrow ( x \in A \; \vee \; x \in B ) \; \wedge \; ( x \in A \; \vee \; x \in C ) </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) </math>





'''ii)''' <math> (A \cap B)' = A' \cup B' </math>



<math> x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in ( A' \cup B' ) </math>





'''iii)''' <math> A \cap ( B \triangle C ) = ( A \cap B ) \triangle ( A \cap C )  </math>



<math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow  x \in A \wedge x \in ( B \triangle C ) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in  A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow</math>

<math> ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin ( A \cap C ) ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin ( A \cap B ) \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \wedge x \in ( A \cap C )') \; \vee ( x \in  (A \cap C) \wedge x \in ( A \cap B)' )</math>

<math> x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) </math>





'''iv)''' <math> A - ( B - C ) = ( A - B ) \cup ( A \cap C ) </math>



<math> x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \notin B \vee x \in C) </math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in ( B - C ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) </math>





'''v)''' <math> A - ( A \triangle B ) = ( A \cap B ) </math>



<math> x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in A \wedge  x \notin ( A \cup B ) \wedge x \in ( A \cap B ) </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math>





'''vi)''' <math> ( A \cap C ) - B = ( A - B) \cap C </math>



<math> x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow  x \in (A - B) \wedge x \in C \Longleftrightarrow x \in ( ( A -B) \cap C )  </math>





'''vii)''' <math> A \subseteq B \Rightarrow A \triangle B = B \cap A' </math>



<math> x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \vee \; x \in ( B - A ) </math> Pero como <math> A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset </math>

<math> x \in ( A - B) \vee x \in ( B - A) \Longleftrightarrow x \in \emptyset \vee x \in ( B - A ) \Longleftrightarrow x \in ( B \cap A' ) </math>





'''viii)''' <math> A \subseteq B \Longleftrightarrow B' \subseteq A' </math>



Sabemos que <math> p \Rightarrow q </math> implica <math> \neg q \Rightarrow \neg p </math>

<math> A \subseteq B \Longleftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ) \Longleftrightarrow (x \notin B \Rightarrow x \notin A) \Longleftrightarrow B' \subseteq A' </math>





'''ix)''' <math> C \subseteq A \Rightarrow ( A \cup B ) \cap C' = ( B - C) \cup ( A \triangle C)  </math>



<math> x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \vee x \in B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow </math>

<math> ( x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C)</math> como <math> C \subseteq A \Rightarrow C - A = \emptyset </math>. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que 

<math> (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow </math>
<math> \Longleftrightarrow (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \notin A \wedge x \in C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow </math>

<math> x \in ( A - C) \vee x \in ( C - A) \vee ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in ( ( A \triangle ) \cup ( B - C ) ) </math>





'''ix)''' <math> A \cap C = \emptyset \Rightarrow A \cap ( B \triangle C) = A \cap B  </math>




<math> x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \triangle C) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \notin B \wedge x \wedge x \in C) ) \Longleftrightarrow </math>

<math> ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) </math>

Como <math> \not\exists x / x \in A \wedge x \in C \Rightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; con \;  A \cap C = \emptyset \Longleftrightarrow x \in A \; \wedge \; x \in B \Longleftrightarrow </math>

<math> \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) </math>

==Ejercicio 11==
Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos

'''i)''' <math> A = \emptyset</math>

<math> P(A)= \left \{ \emptyset \right \} </math>

'''ii)''' <math> A = \left \{ 1 \right \} </math>

<math> P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \} \right \} </math>

'''iii)''' <math> A = \left \{ a, b \right \} </math>

<math>P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} , \left \{ b \right \} \right \} </math>

'''iv)''' <math> A = \left \{ 1, a, \left \{ -1 \right \} \right \} </math>  <math>P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \}, \left \{ a \right \}, \left \{ \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ 1 , a \right \}, \left \{ a, \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ a, \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ 1, a, \left \{ -1 \right \} \right \} \right \} </math>


'''v)''' <math> A = \left \{ 1, \left \{ 1 , 2 \right \} \right \} \;\;\;\; P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \} , \left \{ \left \{ 1, 2 \right \} \right \}, \left \{ 1 , \left \{ 1, 2 \right \} \right \} \right \} </math>


'''vi)''' <math> A=  \left \{ 1, 3, 5, \emptyset \right \}</math>
<math> P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{1 \right \} , \left \{ 3 \right \} , \left \{ 5 \right \} , \left \{ \emptyset \right \} , \left \{ 1 , 3 \right \} , \left \{ 3, 5 \right \} , \left \{ 5 , \emptyset \right \} , \left \{ 1 , \emptyset \right \},

\left \{ 1, 5 \right \} , \left \{ 3, \emptyset \right \} ,  \left \{ 1 , 3 ,5 \right \} , \left \{ 1 , 3 , \emptyset \right \} , \left \{ 1 , 5 , \emptyset \right \}, \left \{ 3, 5, \emptyset \right \} , \left \{ 1, 3, 5, \emptyset \right \} \right \} </math>


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