Edición de «Parcial del 07/07/16 (Recuperatorio)»

'''Recuperatorio 1º parcial de Álgebra, 1º cuatrimestre 2016, tema único'''



'''1.''' Sea <math>f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} </math> definida por

<math>f(n)=

\left\{ 
       \begin{array}{ll} 
               2n & \mbox{si } n \mbox{ es par} \\
               {\frac{n+1}{2}} & \mbox{si } n \mbox{ es impar}
       \end{array}
\right.
</math>

'''a)''' Determinar si <math>f</math> es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

'''b)''' ¿Es posible definir una función <math>g : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> tal que <math>f\circ g</math> sea biyectiva?

'''c)''' ¿Es posible definir una función <math>g : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}</math> tal que <math>g\circ f</math> sea biyectiva?



'''2.''' Probar que <math>\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i^{3}} \leq \frac{3}{8}-\frac{1}{n^{2}}

</math> para todo <math>n \geq 2</math>



'''3.'''

'''a)''' ¿Cuántos anagramas de la palabra CONGRUENCIA hay?

'''b)''' ¿Cuántos hay si además se pide que todas las vocales estén entre las dos N? [Nota: durante el parcial se aclaró que no necesariamente solo las vocales están entre las dos N, también puede haber consonantes.]



'''4.''' Sea <math>F_{0}=0</math>, <math>F_{1}=1</math> y <math>F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}</math> la sucesión de Fibonacci.

'''a)''' Probar que <math>F_{n+8}+F_{n}\equiv 0\ (7)</math> para todo <math>n \in \mathbb {N}_0</math>.

'''b)''' Deducir que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos múltiplos de 7.



'''5.''' Sean <math>a</math> y <math>b</math> números enteros tales que el resto de la división de <math>a</math> por <math>b</math> es 13 y el resto de la división de <math>b</math> por 45 es 10. Determinar los posibles valores de <math>(a^{2}-6a-a:b)</math>. Para cada valor <math>d</math> hallado, exhibir una pareja <math>(a,b) </math> que cumpla todas las condiciones anteriores y además <math>(a^{2}-6a-a:b)=d</math>.



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	'''5.''' Sean <math>a</math> y <math>b</math> números enteros tales que el resto de la división de <math>a</math> por <math>b</math> es 13 y el resto de la división de <math>b</math> por 45 es 10. Determinar los posibles valores de <math>(a^{2}-6a-1:b)</math>. Para cada valor <math>d</math> hallado, exhibir una pareja <math>(a,b) </math> que cumpla todas las condiciones anteriores y además <math>(a^{2}-6a-1:b)=d</math>.		'''5.''' Sean <math>a</math> y <math>b</math> números enteros tales que el resto de la división de <math>a</math> por <math>b</math> es 13 y el resto de la división de <math>b</math> por 45 es 10. Determinar los posibles valores de <math>(a^{2}-6a-a:b)</math>. Para cada valor <math>d</math> hallado, exhibir una pareja <math>(a,b) </math> que cumpla todas las condiciones anteriores y además <math>(a^{2}-6a-a:b)=d</math>.



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