Edición de «Métodos Numéricos»

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{{Plan 1993|Álgebra Lineal Computacional}}
'''Métodos Numéricos''' es una materia dedicada al estudio de los problemas numéricos, su tratamiento y su resolución óptima. Pertenece al área de [[:Category:Métodos_Numéricos|Métodos Numéricos]] y, según el [[Plan de la Carrera]], es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Segundo año|Segundo año]]. Es correlativa de [[Probabilidades y Estadística]] y de [[Algoritmos y Estructuras de Datos I]].
'''Métodos Numéricos''' es una materia dedicada al estudio de los problemas numéricos, su tratamiento y su resolución óptima. Pertenece al área de [[:Category:Métodos_Numéricos|Métodos Numéricos]] y, según el [[Plan de la Carrera]], es una materia a ser cursada en [[Plan de la Carrera#Segundo año|Segundo año]]. Es correlativa de [[Probabilidades y Estadística]] y de [[Algoritmos y Estructuras de Datos I]].


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==Guías prácticas con soluciones==
==Guías prácticas con soluciones==
* [[Práctica 1 (Métodos Numéricos)|Práctica 1: Elementos de Álgebra lineal]]
* [[Práctica 1 (Métodos Numéricos)|Práctica 1: Elementos de Álgebra lineal]]
* [[Práctica 2 (Métodos Numéricos)|Práctica 2: Eliminación Gaussiana / Factorización LU / Normas y número de condición]]
* [[Práctica 2 (Métodos Numéricos)|Práctica 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales]]
* [[Práctica 3 (Métodos Numéricos)|Práctica 3: Matrices simétricas definidas positivas / Factorización de Cholesky]] ([[Media:Metnum_sol_practica_3.pdf|Solución práctica 3]])
* [[Práctica 3 (Métodos Numéricos)|Práctica 3: (Matrices/Sistemas) Especiales]]
* [[Práctica 4 (Métodos Numéricos)|Práctica 4: Matrices ortogonales/QR]] (vacía)
* [[Práctica 4 (Métodos Numéricos)|Práctica 4: Matrices ortogonales/QR]] (vacía)
* [[Práctica 5 (Métodos Numéricos)|Práctica 5: Autovalores/Método de la potencia/SVD]] (vacía)
* [[Práctica 5 (Métodos Numéricos)|Práctica 5: Autovalores/Método de la potencia/SVD]] (vacía)
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===Escrito===
===Escrito===
Si es escrito consiste en hacer un desarrollo escrito completo, sobre tres o cuatro temas de la materia (la elección de los temas depende de la profesora, no del alumno). Se tienen 3 horas para realizar dicho desarrollo.
Si es escrito consiste en hacer un desarollo escrito completo, sobre cuatro temas de la materia (la eleccion de los temas depende de la profesora, no del alumno). Se tienen 3 horas para realizar dicho desarrollo.
Los temas que entran en los finales actualmente son los siguientes:
Los temas que entran en los finales actualmente son los siguientes:


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* 07/03/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
* 07/03/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.


* 10/06/2019:
Una lista ordenada de los temas según aparición podría ser: Cuadrados mínimos (11), métodos iterativos con direcciones conjugadas (8), interpolación (8), LU (5), ceros de funciones (5), QR (5), cálculo de autovalores (3), aritmética finita (1), matrices especiales (1).
** Tema 1: Cuadrados mínimos, QR, ceros de funciones.
** Tema 2: Cuadrados mínimos, LU, interpolación.
* 07/07/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, interpolación.
* 31/07/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
* 20/12/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas/Simplex (si se vio en la cursada).
* 21/02/2020: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, interpolación.
* 02/08/2022: Cuadrados mínimos, Ceros de funciones, Interpolación, LU.
* 09/08/2022: Interpolación, Autovalores, SVD, QR.
* 14/09/2022: LU, Interpolación, Ceros de funciones, Matrices SDP.
* 06/12/2022: Cuadrados mínimos, Ceros de funciones y Autovalores.
* 21/12/2022: Cuadrados mínimos, Interpolación, Autovalores y Matrices Especiales.
* 22/02/2023: Cuadrados mínimos, LU, QR; y, según el cuatrimestre cursado, Interpolación (para quienes cursaron el segundo cuatrimestre de 2022) o Ceros de funciones (para los demás).
* 27/02/2023: Cuadrados mínimos, LU, QR; y, según el cuatrimestre cursado, Interpolación (para quienes cursaron el segundo cuatrimestre de 2022) o Ceros de funciones (para los demás).
* 13/09/2023: QR, Interpolación, Métodos Iterativos y Matrices Especiales
* 12/12/2023: LU, Interpolación, Métodos Iterativos y Autovalores
* 19/12/2023: LU, Autovalores y Cuadrados Mínimos Lineales (3 temas)
 
 
 
Una lista ordenada de los temas según aparición podría ser: Cuadrados mínimos (22), interpolación (18), ceros de funciones (14), métodos iterativos con direcciones conjugadas (12), LU (11), QR (9), cálculo de autovalores (8), aritmética finita (1), matrices especiales (3), SVD (1), SDP (1).


===Oral===
===Oral===
Si es oral, consiste en una serie de preguntas concisas sobre toda la materia. Por ejemplo:
Si es oral, consiste en una serie de preguntas concisas sobre toda la materia. Por ejemplo:
*Factorización LU
* Quiero resolver un sistema con splines, cubicos, ponele que con frontera sujeta. Siempre tengo solución? Por qué?
** ¿Toda matriz tiene LU?¿De qué depende?
* Método de Newton, qué condiciones necesito para converger.
** ¿Conoces alguna condición si y sólo si para que tenga LU (aparte de la de eliminación Gaussiana)?
** Cuál es la idea intuitiva del método de newton?
 
** Método de newton, alguna crítica.
*Número de Condición y Normas
* Método de biseccion. Alguna crítica.
**¿Qué es el número de condición? Intuición y definición.
* Comparar Newton con secante
 
* Orden de convergencia del método de la secante
*Factorización de Cholesky
* Dar alguna condición para afirmar que tenemos una base de autovectores.
**¿Para qué sirve?
* Quiero dar un polinomio interpolador. Siempre existe? Que algoritmos conoces para calcularlo?
**Si una matriz es simétrica definida positiva (s.d.p.) ¿cómo te conviene resolver un sistema lineal?
** Aritmética finita. Que cosas debería tener en cuenta? O errores que puedo tener. Que es el epsilon de la maquina?
** ¿Ventajas de tener la factorizacion de Cholesky contra LU?
 
*Factorización QR
**¿Toda matriz tiene factorización QR? Nombrar un método.
**¿Es única?
**¿Bajo qué condiciones lo es?
**¿Para qué nos sirve (en el contexto de la materia)?
**Idea de como se obtiene con rotaciones y reflexiones.
 
*Autovalores
**Dar alguna condición para afirmar que tenemos una base de autovectores.
**Algún método para encontrar el autovalor más grande de una matriz.
**¿Qué condiciones son necesarias para que el método de la potencia converja?


*Descomposición en valores singulares
* Qué es el número de condición? Intuición y definición.
**¿Qué tamaño tiene cada matriz en la descomposición?
**¿Qué son los valores singulares?
** Explicar por qué son positivos
**¿Qué son las columnas de U y las columnas de V?
**¿Por qué podemos asegurar que AA^t y A^tA tienen base de autovectores?


*Métodos iterativos
* Factorizaciones
** ¿Cuándo convergen? Condiciones necesarias y suficientes.
** Toda matriz tiene LU?
**¿Qué es el radio espectral?
*** De que depende?
*** Conoces alguna condición si y sólo si para que tenga LU (aparte de la de eliminación Gaussiana)
** Toda matriz tiene factorización QR? Es unica? Bajo condiciones lo es?
** Qué son los valores singulares?


*Cuadrados mínimos
* Matrices especiales
**¿Por qué está bueno cuadrados mínimos lineales en relación a cuadrados mínimos no lineales?
** Si una matriz es simétrica definida positiva (s.d.p.) cómo te conviene resolver un sistema lineal?
**¿Por qué decimos que CML es lineal?¿Por qué está bueno usar CML en comparación a no lineales?
**Interpretación geométrica.
**Tengo un problema de cuadrados mínimos, siempre tiene solución?¿Es única?
**¿Qué métodos conoces para resolver cuadrados mínimos?
**Interpolar vs Aproximar.
**Criterios para definir ''mejor aproxima''.


*Interpolación
* Método de la potencia y potencia inversa:
**Quiero resolver un sistema con splines cúbicos con frontera sujeta. ¿Siempre tengo solución? ¿Por qué?
** Algún método para encontrar el autovalor más grande de una matriz.
** Quiero dar un polinomio interpolador. ¿Siempre existe?¿Es único? ¿Qué algoritmos conoces para calcularlo?
** Qué condiciones son necesarias para que el método de la potencia converja?
**¿Qué problemas trae tener un polinomio interpolante de grado muy alto?¿Solución?
**¿Qué es un polinomio interpolador?
** Fórmula del error


*Ceros de funciones
* Métodos iterativos
** Método de punto fijo, ¿qué condiciones necesito para converger?
** Cuándo convergen? Condiciones necesarias y suficientes.
**Método de Newton, ¿qué condiciones necesito para converger?
** Qué es el radio espectral?
**¿Cuál es la idea intuitiva del método de Newton?
**Método de Newton, ¿alguna crítica?
** Método de bisección, ¿alguna crítica?
**Comparar Newton con secante.
**Orden de convergencia del método de la secante.
** Condiciones de convergencia.
** Explicar la relación entre Newton y el teorema de punto fijo.


*Aritmética Finita
* Cuadrados mínimos:
**¿Qué cosas debería tener en cuenta o errores que puedo tener?  
** Por qué está bueno cuadrados mínimos lineales en relación a cuadrados mínimos no lineales?
**¿Qué es el epsilon de la máquina?
** Interpretación geométrica
** Distribución de los números representados.
** Tengo un problema de cuadrados mínimos, siempre tiene solucion?
** Errores clásicos.
** Que métodos conoces para resolver cuadrados mínimos?


==Apuntes==
==Apuntes==
*[https://github.com/daianalonso/MN-propiedades Resumen de propiedades para la práctica (2C2021)].
*[[Medio:MetNum_apunte_final.pdf|Apunte teórico de la materia (2021)]]
*[https://elrepositoriodefede.wordpress.com/materias/materias-de-computacion/metodos-numericos/ El Repositorio de Fede]: Ejercicios Resueltos de las Guías, los Parciales y Material Adicional - Primer Cuatrimestre 2020.
*[https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteFinal-gtagliavini/raw/master/notas.pdf Apunte teórico de la materia] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteFinal-gtagliavini Repositorio de fuentes]): Un apunte de todos los temas de la materia, incluyendo las demostraciones de casi todos resultados. Basado en gran parte en las clases de Isabel. 78 páginas. Cualquier error que encuentren por favor avisarlo a [mailto:[email protected] guido.tag _ARROBA_ gmail.com].
*[https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteFinal-gtagliavini/raw/master/notas.pdf Apunte teórico de la materia] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteFinal-gtagliavini Repositorio de fuentes]): Un apunte de todos los temas de la materia, incluyendo las demostraciones de casi todos resultados. Basado en gran parte en las clases de Isabel. 78 páginas. Cualquier error que encuentren por favor avisarlo a [mailto:[email protected] guido.tag _ARROBA_ gmail.com].
* [https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteTeorica-jsackmann/raw/master/MetNum.pdf Apunte teórico de la materia] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteTeorica-jsackmann Repositorio de fuentes]): Un apunte de los temas que entran en el final. Está basado en las clases de Isabel e incluye algunas demostraciones. 56 páginas. (<strike>[[Apunte_Jsackmann_Metnum_Fe_De_Erratas|Fe de erratas]]</strike> Corregidas. Muchas gracias). Como siempre, por favor avisar de cualquier error que encuentren o si quieren expandirlo, mejorarlo, etc a [mailto:[email protected] jsackmann _ARROBA_ cubawiki.com.ar]
* [https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteTeorica-jsackmann/raw/master/MetNum.pdf Apunte teórico de la materia] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-ApunteTeorica-jsackmann Repositorio de fuentes]): Un apunte de los temas que entran en el final. Está basado en las clases de Isabel e incluye algunas demostraciones. 56 páginas. (<strike>[[Apunte_Jsackmann_Metnum_Fe_De_Erratas|Fe de erratas]]</strike> Corregidas. Muchas gracias). Como siempre, por favor avisar de cualquier error que encuentren o si quieren expandirlo, mejorarlo, etc a [mailto:[email protected] jsackmann _ARROBA_ cubawiki.com.ar]
*[https://github.com/CubaWiki/MetNum-Apunte-frizzo/raw/master/apunte-metodos.pdf Apunte teórico (por Franco Frizzo)] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-Apunte-frizzo Repositorio de fuentes]). Basado principalmente en notas de las clases teóricas. Incluye todos los temas que entran en el final (excepto programación lineal/simplex, que entra solo a veces).
*[[Media:Metnum_overview.pdf|Apunte teórico para el final]] ([[Media:Metnum_apunte_src.zip|fuente]]): Un resumen '''muy completo''' con explicaciones de todos los tema teóricos que se suelen tomar en el final. 25 páginas.
*[[Media:Metnum_apunte.pdf|Apunte teórico para el final]] ([[Media:Metnum_apunte.zip|fuente]]): Apunte basado en el de arriba, pero sin los temas que ya no se toman (como Simplex) y con algunas cosas más. Todavía le falta para ser perfecto.
*[[Media:metodos-final.pdf|Apunte teórico muy resumido para el final]] ([[Media:metodos-final.tex.tar.bz2|fuente]]): Un resumen los temas que se piden en el final, agrupados por como se piden. 7 Páginas. Ojo! Esta incompleto cuadrados minimos. Aritmetica de la computadora y busqueda de ceros seguro esta bien, el resto no tuve oportunidad de comprobar nada.
*[[Media:TemasDeMetodos.txt|Apunte con ideas claves de cada tema]]: Mini apunte con todo lo que tenes que saber para metodos. Se recomienda tener esto presente y profundizar cada tema con bibliografia e internet.
*[[Media:TemasDeMetodos.txt|Apunte con ideas claves de cada tema]]: Mini apunte con todo lo que tenes que saber para metodos. Se recomienda tener esto presente y profundizar cada tema con bibliografia e internet.
*[[Apunte TP3 (Métodos Numéricos)|Apuntes para el TP3]]: Clase del 23 de Octubre del 2006 acerca de factorización QR, método de Givens, algoritmo QR para el cálculo de autovalores para el tercer trabajo práctico.
*[[Apunte TP3 (Métodos Numéricos)|Apuntes para el TP3]]: Clase del 23 de Octubre del 2006 acerca de factorización QR, método de Givens, algoritmo QR para el cálculo de autovalores para el tercer trabajo práctico.
*[[Zoom con splines (Métodos Numéricos)|Zoom con splines en Matlab]]: Clase de laboratorio del 13 de Noviembre del 2006 acerca splines cúbicos, con el código de Matlab para efectuar zoom sobre imágenes y otros experimentos.
*[[Zoom con splines (Métodos Numéricos)|Zoom con splines en Matlab]]: Clase de laboratorio del 13 de Noviembre del 2006 acerca splines cúbicos, con el código de Matlab para efectuar zoom sobre imágenes y otros experimentos.
* [https://docs.google.com/spreadsheets/d/15qGW3fSaCTdYCgxH69aGuO7nQYJioOh0wc_1bsG-RJE/edit?usp=sharing Googlesheet con preguntas para el oral]: Cualquier aporte, ya sea agregando una pregunta o respuesta es bienvenido. Pueden haber preguntas repetidas, si encontras alguna sos libre de sacarla.
*[https://github.com/CubaWiki/MetNum-Apunte-frizzo/raw/master/apunte-metodos.pdf  Otro apunte más para el final] ([https://github.com/CubaWiki/MetNum-Apunte-frizzo Repositorio de fuentes]). Está basado en notas de las clases teóricas y toma elementos de varios de los apuntes anteriores. Incluye todos los temas que entran en el final, excepto programación lineal/simplex (que entra solo a veces).
* [[Medio:resumen-final-metnum.pdf|Resumen teórico de la materia - 2c2023]]


==TP==
==TP==
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==Parciales==
==Parciales==
===Primeros Parciales===
===Primeros parciales===
*[[Primer Parcial 11/05/2007 (Métodos Numéricos)| Primer Parcial 11/05/2007]]
*[[Primer Parcial 11/05/2007 (Métodos Numéricos)| Primer Parcial 11/05/2007]]
*[[Primer Parcial 9/05/2008 (Métodos Numéricos)| Primer Parcial 9/05/2008]]
*[[Primer Parcial 9/05/2008 (Métodos Numéricos)| Primer Parcial 9/05/2008]]
Línea 205: Línea 151:
*[[Medio: Metnum-1P-23-04-18.pdf| Primer Parcial 23/04/2018 (semi-resuelto)]]
*[[Medio: Metnum-1P-23-04-18.pdf| Primer Parcial 23/04/2018 (semi-resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_08-10-18.pdf| Primer Parcial 08/10/2018]] ([[Medio: MetNum_1parcial_08-10-18_resolucion.pdf|resolución]])
*[[Medio: MetNum_1parcial_08-10-18.pdf| Primer Parcial 08/10/2018]] ([[Medio: MetNum_1parcial_08-10-18_resolucion.pdf|resolución]])
*[[Medio: MetNum_1parcial_22-04-19.pdf| Primer Parcial 22/04/2019 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_13-09-19-3.pdf| Primer Parcial 13/09/2019 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_24-07-20.pdf| Primer Parcial 24/07/2020 (recuperatorio resuelto y corregido)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_05-10-20.pdf| Primer Parcial 05/10/2020]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_30-04-21.pdf| Primer Parcial 30/04/2021]] ([[Medio: MetNum_1parcial_30-04-21_resolucion.pdf|resolución]])
*[[Medio: MetNum_1parcial_17-09-21.pdf| Primer Parcial 17/09/2021]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_25-04-22.pdf| Primer Parcial 25/04/2022 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_1R_01-07-22.pdf| Primer Parcial 01/07/2022 (primer recuperatorio)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_2R_15-07-22.pdf| Primer Parcial 15/07/2022 (segundo recuperatorio)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_1R_02-12-22.pdf| Primer Parcial 02/12/2022 (primer recuperatorio)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_03-05-23.pdf| Primer Parcial 04/05/2023 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_1R_10-07-23.pdf| Primer Parcial 10/07/2023 (recuperatorio semi-resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_1parcial_08-11-23.pdf| Primer Parcial 25/09/2023 (resuelto)]] [[Medio: MetNum_1parcial_25-09-23.pdf| (otra resolución)]]


===Segundos Parciales===
===Segundos parciales===
*[[Segundo Parcial 07/07/2006 (Métodos Numéricos)|Segundo Parcial del 07/07/2006]]
*[[Segundo Parcial 07/07/2006 (Métodos Numéricos)|Segundo Parcial del 07/07/2006]]
*[[Segundo Parcial 21/07/2006 (Métodos Numéricos)|Segundo Parcial del 21/07/2006 (recuperatorio)]]
*[[Segundo Parcial 21/07/2006 (Métodos Numéricos)|Segundo Parcial del 21/07/2006 (recuperatorio)]]
Línea 232: Línea 165:
*[[Medio: Metnum-2P-04-06-18.pdf| Segundo Parcial 04/06/18 (resuelto)]]
*[[Medio: Metnum-2P-04-06-18.pdf| Segundo Parcial 04/06/18 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_2parcial_09-11-18.pdf|Segundo Parcial 09/11/18]] ([[Medio: MetNum_2parcial_09-11-18_resolución.pdf|resolución]])
*[[Medio: MetNum_2parcial_09-11-18.pdf|Segundo Parcial 09/11/18]] ([[Medio: MetNum_2parcial_09-11-18_resolución.pdf|resolución]])
*[[Medio: MetNum_2parcial_31-05-19.pdf| Segundo Parcial 31/05/2019 (resuelto)]]
*[[Medio: MetNum_2parcial_22-06-20.pdf| Segundo Parcial 22/06/2020 (resuelto y corregido)]]
*[[Medio: Metnum-2P-13-11-20.pdf| Segundo Parcial 13/11/20]]
*[[Medio: Metnum-2P-25-10-21.pdf| Segundo Parcial 25/10/21 (resuelto y corregido)]]
*[[Medio: Metnum_2R_26-11-21.pdf| Recuperatorio del Segundo Parcial 26/11/21 (resuelto)]]
*[[Medio: Metnum-2P-15-06-22.pdf| Segundo Parcial 15/06/22 (resuelto)]]
*[[Medio:MetNum_2parcial_07-11-22.pdf|Segundo parcial del segundo cuatrimestre de 2022]]
*[[Medio: MetNum_2parcial_14-06-23.pdf| Segundo parcial 14/06/23]] ([[Medio: MetNum_2parcial_14-06-23_resolucion.pdf|resolución]])
*[[Medio: 2R17072023.pdf|Segundo Recuperatorio 17/07/23]]
*[[Medio:MetNum_2parcial_08-11-23_mezcla.pdf|Segundo Parcial 08/11/23 (resuelto)]]


===Terceros Parciales===
===Terceros parciales===
*[[Medio: P3 MN 1c2014.png|Tercer Parcial del 30/06/2014]]
*[[Medio: P3 MN 1c2014.png|Tercer Parcial del 30/06/2014]]
*[[Medio: P3 MN 2c2014.png|Tercer Parcial del 21/11/2014]] [[Medio: MetNum_2parcial_21-11-14_ej2.png|ej2]] [[Medio: MetNum_2parcial_21-11-14_ej3.png|ej3]]
*[[Medio: P3 MN 2c2014.png|Tercer Parcial del 21/11/2014]] [[Medio: MetNum_2parcial_21-11-14_ej2.png|ej2]] [[Medio: MetNum_2parcial_21-11-14_ej3.png|ej3]]
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==Bibliografía recomendada==
==Bibliografía recomendada==
*Ake Bjorck, ''Numerical Methods'', Dover Publications, 2003; libro para ceros de funciones.
*R. Burden y J.D.Faires, ''Análisis numérico'', International Thomson Editors, 1998 ("El Burden") ('''Circulante 519 600 Burden''' en la [[Biblioteca Central]]); libro básico para seguir la materia.
*Lloyd N. Trefethen, ''Numerical linear algebra'', SIAM, 1997; libro para el estudio del error numérico y la diferencia entre los distintos métodos.
*R. Burden y J.D.Faires, ''Análisis numérico'', International Thomson Editors, 1998 ("El Burden") ('''Circulante 519 600 Burden''' en la [[Biblioteca Central]]); libro cabecera de la materia.
*G. Strang, ''Linear algebra and its applications'', Harcourt Brace Jovanovich, 1988 ('''Circulante 512 640 Strang''' en la [[Biblioteca Central]])
*G. Strang, ''Linear algebra and its applications'', Harcourt Brace Jovanovich, 1988 ('''Circulante 512 640 Strang''' en la [[Biblioteca Central]])
*V. Chvatal, ''Linear programming'', Freeman, 1983; libro para Simplex, capitulos 2, 3, 7.
*V. Chvatal, ''Linear programming'', Freeman, 1983; libro para Simplex, capitulos 2, 3, 7.
Línea 264: Línea 185:


* [https://www.youtube.com/watch?v=_UdG5rVXjM4 Video muy completo ideal para preparar el final]
* [https://www.youtube.com/watch?v=_UdG5rVXjM4 Video muy completo ideal para preparar el final]
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Excelente serie de videos sobre álgebra lineal.]


==Enlaces externos==
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