Edición de «Interpolación (Métodos Numéricos)»
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Revisión actual | Tu texto | ||
Línea 1: | Línea 1: | ||
Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos | Muchas veces nos encontramos con un conjunto de puntos $(x_i, f(x_i))$ que | ||
provienen de una función desconocida | provienen de una función desconocida $f$ y nos gustaría poder ``estimar'' | ||
el valor de la función en algún punto | el valor de la función en algún punto $\xi \in [x_0,x_n]$ para el cual no tenemos datos. | ||
Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada | Otra razón para interpolar puede ser que la función original es demasiado complicada | ||
para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida | para tratar con ella y queremos simplificarla tomando sólo la información contenida | ||
en algunos puntos y | en algunos puntos y ``sintetizando'' una función más simple. | ||
Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando. | Las funciones interpoladoras hacen justamente lo que estamos buscando. | ||
Línea 15: | Línea 15: | ||
para intervalos medianamente grandes. | para intervalos medianamente grandes. | ||
\subsection{Polinomio interpolador de Lagrange} | |||
A partir de $n+1$ puntos ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ podemos obtener | |||
A partir de | |||
el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos. | el polinomio de menor grado que pasa por todos ellos. | ||
Se construye un cociente | Se construye un cociente $L_{n,k}(x)$ con la propiedad de que $L_{n,k}(x_{i})=0$ | ||
cuando | cuando $i\neq k$ y $L_{n,k}(x_k)=1$. Un polinomio que | ||
cumple esto es el siguiente: | cumple esto es el siguiente: | ||
\begin{displaymath} | |||
L_{n,k}(x) = | |||
\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\cdots(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots(x_{k}-x_{n})} = | |||
\prod_{\stackrel{i=0}{i\neq k}}^{n}\frac{(x-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})} | |||
\end{displaymath} | |||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
\centering | \centering | ||
\includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png} | \includegraphics[width=12cm]{burdenlnk.png} | ||
\caption{Polinomio | \caption{Polinomio $L_{n,k}(x)$.} | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
\begin{theorem} | |||
Si | Si ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ son $n+1$ números distintos y si $f$ | ||
es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces | es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces | ||
\textbf{existe} un \textbf{único} polinomio $P$ de grado a lo sumo $n$, con la propiedad | |||
de que | de que $f(x_{k})=P(x_{k})$ para $k=0,\ldots,n$. Este polinomio está dado | ||
por: | por: | ||
\begin{displaymath} | |||
P(x)=\sum_{k=0}^{n}f(x_i)L_{n,k}(x) | |||
\end{displaymath} | |||
\end{theorem} | |||
\begin{theorem} | |||
Sean ${x_0,x_1,\dots,x_n}$ en $[a,b]$, $f \in C^{n+1}[a,b]$ | |||
entonces para todo $x$ en $[a,b]$, | |||
existe $\xi$ en $[a,b]$, que depende de $x$, tal que: | |||
\begin{displaymath} | |||
f(x)=P(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i) | |||
Sean | \end{displaymath} | ||
entonces para todo | \end{theorem} | ||
existe | |||
El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos: | El uso de los polinomios de Lagrange plantea dos problemas inmediatos: | ||
uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema | uno es que el término del error es difícil de aplicar. El otro problema | ||
es que teniendo una aproximación de grado | es que teniendo una aproximación de grado $n$, si se quiere obtener | ||
ahora la de grado | ahora la de grado $n+1$, no hay forma de aprovechar los cálculos | ||
ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio. | ya hechos para ahorrar trabajo en el cálculo del nuevo polinomio. | ||
Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma | Como el polinomio es único, veremos que se puede encontrar otra forma | ||
Línea 65: | Línea 63: | ||
costo tan alto. | costo tan alto. | ||
\begin{definition} | |||
Sean | Sean $k$ números enteros distintos $m_1,\dots,m_k$ que cumplen | ||
$0 \le m_i \le n$ para cada $i$, se define a | |||
$P_{m_{1},m_{2},\dots,m_{k}}(x)$ como el polinomio interpolante en | |||
los puntos | los puntos $x_{m_{1}},x_{m_{2}},\dots,x_{m_k}$. | ||
\end{definition} | |||
\begin{theorem} | |||
\label{recinterpol} | |||
Sea $f$ definida en $n+1$ puntos distintos $x_{0},\dots,x_{n}$ | |||
con $x_i$ y $x_j$ dos puntos del conjunto distintos entre si | |||
y $P(x)$ el polinomio de Lagrange de grado a lo sumo $n$ que interpola a $f$ | |||
en esos $n+1$ puntos, entonces el polinomio puede expresarse como | |||
$$P(x)=\frac{(x-x_{j})P_{0,1,\dots,j-1,j+1,\ldots,n}(x)-(x-x_{i})P_{0,1,\dots,i-1,i+1,\ldots,n}(x)}{(x_{i}-x_{j})}$$ | |||
\end{theorem} | |||
De acuerdo con el | De acuerdo con el \textbf{Teorema \ref{recinterpol}}, | ||
los polinomios interpolantes pueden generarse | los polinomios interpolantes pueden generarse | ||
de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados. | de manera recursiva aprovechando polinomios ya calculados. | ||
\subsection{Forma de Newton del polinomio interpolador} | |||
\begin{definition} | |||
La diferencia dividida cero de <math>f</math> respecto | |||
a <math>x_{i}</math> se define como | |||
<math>f[x_{i}]= f(x_{i})</math> | |||
y la k-ésima diferencia | y la k-ésima diferencia | ||
dividida relativa a <math>x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}</math> está dada por | dividida relativa a <math>x_{i}, x_{i+1},\dots,x_{i+k}</math> está dada por | ||
<math>f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},x_{i+2},\dots,x_{i+k}]-f[x_{i},x_{i+1},\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_{i}}</math> | |||
\end{definition} | |||
\begin{theorem} | |||
Se puede demostrar que el polinomio interpolador $P_{n}(x)$ se puede expresar como | |||
<math>P_{n}(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\dots+a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots(x-x_{n-1})</math> | |||
donde <math>a_{k}=f[x_{0},\dots,x_{k}]</math>. | donde <math>a_{k}=f[x_{0},\dots,x_{k}]</math>. | ||
\end{theorem} | |||
Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador | Usando esta definición se puede ir armando el polinomio interpolador | ||
Línea 118: | Línea 116: | ||
\end{figure} | \end{figure} | ||
\subsection{Splines} | |||
Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es | Los polinomios tienen una gran desventaja como interpoladores y es | ||
Línea 133: | Línea 130: | ||
se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos | se tiene la seguridad de que haya diferenciabilidad en los extremos | ||
de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función | de los subintervalos lo cual geométricamente significa que la función | ||
interpolante no es | interpolante no es ``suave'' en esos puntos. | ||
El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable | El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable | ||
en un intervalo entero | en un intervalo entero $[x_{0},x_{n}]$ es la función obtenida al | ||
ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos. | ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos. | ||
Esto se hace construyendo una cuadrática en | Esto se hace construyendo una cuadrática en $[x_{0},x_{1}]$ que concuerde | ||
con la función en | con la función en $x_{0}$ y en $x_{1}$, otra cuadrática en $[x_{1},x_{2}]$ | ||
que concuerde con la función en | que concuerde con la función en $x_{1}$ y en $x_{2}$ y así sucesivamente. | ||
Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias, | Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias, | ||
y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en | y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en | ||
los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que | los extremos de cada intervalo, por ello existe una flexibilidad que | ||
permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga | permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga | ||
una derivada continua en | una derivada continua en $[x_{0},x_{n}]$. El problema se presenta | ||
cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada | cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada | ||
de la interpolante en los extremos | de la interpolante en los extremos $x_{0}$ y $x_{n}$: no hay constantes | ||
suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones. | suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones. | ||
Línea 160: | Línea 157: | ||
en los nodos. | en los nodos. | ||
\paragraph{Definición:} Dada una función $f$ definida en $[a,b]$ y | |||
Dada una función | un conjunto de nodos $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{n}=b$ un spline cúbico | ||
un conjunto de nodos | $S$ para $f$ es una función que cumple con las siguientes condiciones: | ||
\begin{enumerate} | |||
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.} | |||
\setlength{\itemsep}{0pt} | |||
\item $S(x)$ es un polinomio cúbico denotado $S_{j}(x)$ en el subintervalo $[x_{j},x_{j+1}]$ para $j$ de $0$ a $n-1$ | |||
\item $S(x_{j})=f(x_{j})$ para $j$ de $0$ a $n$ | |||
\item $S_{j+1}(x_{j+1})=S_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ | |||
\item $S'_{j+1}(x_{j+1})=S'_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ | |||
\item $S{''}_{j+1}(x_{j+1})=S''_{j}(x_{j+1})$ para $j$ de $0$ a $n-2$ | |||
\item{ | |||
Se satisface una de las siguientes condiciones de frontera: | |||
\begin{itemize} | |||
\setlength{\itemsep}{0pt} | |||
\item $S''(x_{0})=S''(x_{n})=0$ (spline libre o \textbf{natural}) | |||
\item $S'(x_{0})=f'(x_{0}) \textrm{\ y\ } S'(x_{n})=f'(x_{n}) $ (spline \textbf{sujeto}) | |||
\end{itemize} | |||
} | |||
\end{enumerate} | |||
Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones | Generalmente en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones | ||
Línea 180: | Línea 185: | ||
o la sujeta. | o la sujeta. | ||
Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos | Cuando deseo interpolar un conjunto de puntos $x_{0},\dots,x_{n}$, el | ||
planteo de todas las condiciones mencionadas para | planteo de todas las condiciones mencionadas para $S(x)$ se puede | ||
llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda | llevar a la forma de un sistema de ecuaciones tridiagonal que queda | ||
en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta | en función de uno de los cuatro coeficientes de cada spline y resulta | ||
ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única, | ser estrictamente diagonal dominante, por lo que tiene solución única, | ||
puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido. | puede almacenarse usando poco espacio y resolverse relativamente rápido. |