Integración Numérica (Métodos Numéricos)

Integración numérica consiste en calcular la integral de una función dada aproximándola mediante un polinomio y luego calculando esa primitiva. La idea es que muchas veces no es posible (o es muy dificil) calcular la primitiva de una funcion, mientras que la de un polinomio es sumamente facil.

Los dos métodos más usados son el método del Trapecio y el de Simpson. El primero consiste en interpolar los limites de integracion mediante una recta y calcular dicha area. La formula equivale a calcular el area del trapecio formado por los puntos: b, a, f(a), f(b).

$(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}$

El metodo de Simpson implica hallar el punto medio (b-a)/2, y calcular el interpolador de grado dos entre esos tres puntos. Siendo h la distancia entre dos nodos consecutivos, es decir, $x_{2}-x_{1}=x_{1}-x_{0}$,

${\frac {h}{3}}(f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2}))$

Siendo $\xi$ un punto entre los limites de integracion, los errores para el método del trapecio y para el de Simpson son, respectivamente,

$-{\frac {h^{3}}{12}}*f^{ii}(\xi )$

$-{\frac {h^{5}}{90}}*f^{iv}(\xi )$

Ambos métodos son casos particulares del método de Newton-Côtes, el cual consiste en integrar el polinomio interpolador de grado n a partir de obtener n+1 nodos de la funcion original.

Una variacion de los métodos de Trapecio y Simpson son las reglas compuestas. Consisten en dividir el intervalo de integracion en varios subintervalos de igual longitud y utilizar el metodo en cada uno de ellos. El valor de la integral completa se calcula como la sumatoria de aplicar el metodo simple en los subintervalos. De esta forma, trapecios compuestos sería:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{2}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}{f(x_{i})}+f(x_{n}){\bigg ]}$

La formula del error para la reglas compuesta del Trapecio es, siendo $h=(b-a)/n$ y $n=(b-a)/h$,

$-{\frac {h^{3}}{12}}n*f^{ii}(\xi )=-{\frac {h^{2}}{12}}(b-a)*f^{ii}(\xi )$

La regla de Simpson compuesta es:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{j=1}^{n/2}{\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\bigg ]}$

Otra expresión equivalente y más útil (que surge de agrupar sumandos repetidos en la expresión anterior) es:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$

Para la regla compuesta de Simpson el error es, siendo $h=(b-a)/2n$ y $n=(b-a)/2h$,

$-{\frac {h^{5}}{90}}n*f^{iv}(\xi )=-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)*f^{iv}(\xi )$

Observar que cuantos mas puntos se toman, menor es el error. Un ejercicio tipico a resolver es averiguar la cantidad de puntos necesaria para integrar numericamente una funcion mediante una regla compuesta tal que el error sea menor a un determinado valor.

Recordar que para acotar el error es necesario trabajar siempre con el valor absoluto. Acotar la derivada enesima implica acotar su modulo, con lo cual un minimo puede resultar ser el maximo.