Final del 20/12/19 (Algoritmos III)

Final escrito de Min Chih Lin.

Enunciados

Ejercicio 1

Escribir un algoritmo que utilice la técnica de "programación dinámica" para calcular la subsecuencia creciente máxima de una secuencia de números (el mejor algoritmo conocido es de tiempo $O(n.log(n))$ y usa espacio $O(n)$). Mostrar la correctitud y determinar la complejidad del algoritmo propuesto.

Ejercicio 2

El grafo $Q_{d}$, también llamado hipercubo de orden $d$, se define inductivamente de la siguiente manera: $Q_{0}=K_{1}$, y $Q_{d}$ con $d\in N_{>}0$ es el grafo que se obtiene al tomar dos copias de $Q_{d}-1$ y agrega un eje entre cada vértice de una copia y su vértice correspondiente en la otra copia. Por ejemplo $Q_{1}=K_{2}$, $Q_{2}=C_{4}$ (ciclo simple de 4 vértices).

(a) Determinar los valores de $d$ para los cuales $Q_{d}$ es planar. Justificar.

(b) Determinar $\chi (Q_{d})$. Justificar.

Ejercicio 3

Dado un grafo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G = (V_G, E_G)} , se define la excentricidad de un vértice Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v \in V_G} como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e_G (v) = max \{dist_G (v,w) / \forall w \in V_G \}} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dist_G (v,w)} como la cantidad de aristas del camino más corto entre Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle w} . Y también se definen el radio y el diámetro de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(G) = min{e_G (v) / \forall v \in V_G}} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d_G = max{e_G (v) / \forall v \in V_G}} . Un vértice Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v \in E_G} es centro de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e_G (v) = r(G)} .

(a) Mostrar infinitos grafos conexos (distintos de completos y ciclos) donde todos los vértices son centros.

(b) Probar que todo árbol tiene uno o dos centros.

(c) Escribir un algoritmo eficiente basado en el resultado anterior que determine el radio y el diámetro de un árbol T. Mostrar la correctitud y determinar la complejidad del algoritmo propuesto.