Final 26/02/2016 (Análisis II)

1. Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ que verifica:

i) $f(1,2)<0$

ii) Existe una sucesión $(Q_{n})_{n}$ de puntos de $\mathbb {R} ^{2}$ tales que $\lim _{n\to \infty }f(Q_{n})=+\infty$

Probar que:

a) Existe $P\in \mathbb {R} ^{2}/f(P)=0$

b) Si existen dos puntos distintos $P,Q/f(P)=f(Q)=0$, entonces existe un punto $R\in \mathbb {R} ^{2}/\nabla f(R)$ es perpendicular al vector $P-Q$.

2. $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ continua, que verifica:

i)$f(x)\geq 0$ $\forall x\geq 0$

ii) Existe $a>0/f(x)\geq a$ para todo $x$ entre $0$ y ${\frac {1}{2}}$

iii) $f(x)=f(x+n)$ para todo $x\geq 0$ y $\forall n\in \mathbb {N}$

Probar que:

a) $\int _{0}^{1}f(x)dx>0$

b) $\forall n\in {N}$ vale que $\int _{0}^{1}f(x)dx=\int _{n}^{n+1}f(x)dx$

c) $\int _{0}^{+\infty }f(x)dx=+\infty$

3. $f$ es diferenciable en $P\in \mathbb {R} ^{2}$ y $V\in \mathbb {R} ^{2}/||V||=1$. Probar que existe ${\frac {\partial f}{\partial V}}(P)$ y es igual a $\nabla f(P).V$

4. Demostrar teorema de Multiplicadores de Lagrange para $\mathbb {R} ^{2}$ o $\mathbb {R} ^{3}$