Final 21/12/2017 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ una función de clase $C^{1}$ y sean $a,b\in \mathbb {R}$ tales que $a<b$.

(a) Probar que existe $M>0$ tal que, para todo $x\in [a,b]$ se verifica $\vert f'(x)\vert \leq M$.

(b) Concluir que para todo $x,y\in [a,b]$, se verifica $\vert f(x)-f(y)\vert \leq M\vert x-y\vert$.

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Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ definida por Error al representar (función desconocida «\begin{cases}»): {\displaystyle f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^n y}{x^2 + y^2} & \text{para $(x, y) \neq (0, 0)$} \\ 0 & \text{para $(x, y) = (0, 0)$.} \end{cases} }

(a) Determinar todos los valores de $n\in \mathbb {N}$ para los cuales existen todas las derivadas direccionales ${\frac {\partial f}{\partial v}}(0,0)$ para $v\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $\vert \vert v\vert \vert =1$.

(b) Determinar todos los valores de $n\in \mathbb {N}$ para los cuales $f$ resulta diferenciable en $(0,0)$.

Ejercicio 3

Sea $f:U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ una función de clase $C^{3}$ en el abierto $U$. Probar que si $p\in U$ es un punto crítico de $f$ y $H\ f(p)$ es definido positivo, entonces $f$ tiene un mínimo local estricto en $p$.

Ejercicio 4

Sean $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ dos transformaciones lineales tales que $\operatorname {det} \left({\begin{matrix}\nabla f(x,y)\\\nabla g(x,y)\end{matrix}}\right)=3$. Sea $D$ el dominio limitado por las rectas $f(x,y)=5$, $f(x,y)=8$, $g(x,y)=-1$, $g(x,y)=2$. Es decir $D=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:5\leq f(x,y)\leq 8,-1\leq g(x,y)\leq 2\rbrace$.

Calcular $\int _{D}{e^{f(x,y)}\left(g(x,y)\right)^{2}{\text{d}}x\,{\text{d}}y}$.