Final 21/07/2015 (Álgebra I)

(3 horas)

Ejercicio 1

Sean $f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ y sean $f_{(x)}^{3}+g{(f_{(x)})}\cdot f_{(x)}$ y $f(x^{3}+g_{(x)}\cdot x)$ biyectivas. Demostrar que $f_{(x)}$ es biyectiva.

Ejercicio 2

Sea $p$ primo, demostrar:

1. La suma de las raíces primitivas de la unidad $G_{p}$ es igual a $-1$.
2. La suma de las raíces primitivas de la unidad $G_{p^{2}}$ es igual a $0$.

Ejercicio 3

$?$

Ejercicio 4

Demostrar que $X^{3}+X^{2}+X+1$ divide a $X^{4a}+X^{4b+9}+X^{4c+7}+X^{4d+2}$ en $\mathbb {Q} [X]$, con $a,b,c,d\in \mathbb {N}$.