Diferencia entre revisiones de «Final 14/06/2019 (Probabilidad y Estadística)»
Línea 59: | Línea 59: | ||
Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros. | Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros. | ||
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> | |||
Posible resolución | |||
<div class="mw-collapsible-content" style="overflow-x:scroll"> | |||
Primero hay que saber que decir que algo converge en distribucion es lo mismo a decir que <math>\lim_{n\to\infty} F_{X_n} = F_X</math> en todo punto donde la acumulada es buena. Es lo mismo que decir que las generadoras de momentos convergen (i.e. <math>\lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X</math>). | |||
Con esto voy a usar la generadora de momentos de la distribucion <math>\Gamma(n, \lambda)</math> que es <math>M_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n</math> | |||
<math> M_{\frac{S_n-n/\lambda}{\sqrt{n}/\lambda}} (t) = </math> | |||
<math> e^{-\sqrt{n}} M_{\frac{S_n}{\sqrt{n}/\lambda}}(t) = </math> | |||
<math> e^{-\sqrt{n}} M_{S_n}(t\lambda/\sqrt{n}) = </math> | |||
<math> e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{\lambda}{\lambda-\frac{t\lambda}{\sqrt{n}}}\right)^n = </math> | |||
<math> e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n = </math> | |||
Si <math>\lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X</math> entonces <math>\lim_{n\to\infty} \log(M_{X_n}) = \log(M_X)</math> pues es una funcion biyectiva en su dominio, entonces le tomo logaritmo a lo anterior | |||
<math>\log\left(e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n \right) = </math> | |||
<math> -\sqrt{n} + n\log\left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right) = </math> | |||
<math> -\sqrt{n} + n\left[\log(1) - \log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right] = </math> | |||
<math> -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = </math> | |||
Aqui hay que recordar (O saber hacer...) la expansion de Taylor para x<<1 <math>\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)</math> | |||
<math> -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \approx -\sqrt{n} - n\left(\frac{t}{\sqrt{n}} - \frac{t^2}{2n}\right) </math> | |||
Entonces queda que | |||
<math> \lim_{n\to\infty} M_{S_n} =\lim_{n\to\infty}\exp\left(-\sqrt{n}(1+t) + \frac{t^2}{2}\right) = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right) = M_Z(t), Z\sim\mathcal{N}(0,1)</math> | |||
Quedo demostrado entonces la convergencia en distribucion de la funcion original a una normal con media cero y varianza uno. | |||
</div> | |||
</div> | |||
=== Ejercicio 5 === | === Ejercicio 5 === |
Revisión del 01:47 19 jun 2019
Criterio de aprobaci ́on: El examen consta de dos partes A y B. En la Parte A, cada ejercicio resuelto correctamentesuma un punto. En la Parte B, el ejercicio suma 5 puntos. El final se aprueba con 6 puntos y NO podra sumar mas de 5 puntos de cada parte
Parte A
Ejercicio 1
Se tiene una urna con cuatro pelotitas negras y tres rojas. Se quitan tres sin reposicion.
- Dar la probabilidad de que la primera halla sido negra y la tercera roja.
- Si se sabe que la tercera fue roja. Cual es la probabilidad de que la segunda halla sido negra?.
Ejercicio 2
Sean , dos variables aleatorias independientes con distribuciones , . Demostrar que
Posible resolución
Ejercicio 3
Sean , variables aleatorias independientes. Siendo con distribucion geometrica de parametro y con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n X_i\ \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}}
Posible resolución
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z_i = X_i \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}} Yo se que si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n} converge en probabilidad, lo hace a su esperanza por la Ley de Grandes Numeros:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n \overset{p}{\longrightarrow} E[Z]}
Si se cumple que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V[Z] < \infty} . Primero encuentro la esperanza y despues me preocupo por eso.
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z]=E[X\ \mathbb{I}_{\{Y>0\}}] \overset{\overset{\perp\!\!\!\perp}{\downarrow}}{=} E[X]E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}P(Y>0)\overset{\overset{Y\sim\mathcal{N}(0,1)}{\downarrow}}{=}\frac{1}{2p}}
Para ver que la varianza es finita tengo que estudiar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z^2]=E[X^2\ \cdot\ \left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]=E[X^2]\ E[\left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]} Yo se que la varianza de una geometrica es finita asi que el primer termino se puede calcular facil y es finito (Da Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2-p)/p^2} ). Para el otro termino notemos que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2 = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} \cdot \mathbb{I}_{\{Y>0\}} = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} } Porque multiplicar dos veces la misma indicadora no aporta nada, entonces ya esta calculada la Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E[Z^2]} y entonces la Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]} se puede calcular y da finita. Entoces puedo usar LGN, y el limite da lo que ya calcule arriba.
Ejercicio 4
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{S_n\}_{n\ge 1}} una sucesion de variables aleatorias tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_n \sim \Gamma(n, \lambda)} . Demuestre que
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{S_n - n/\lambda}{\sqrt{n}/\lambda}}
Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros.
Posible resolución
Primero hay que saber que decir que algo converge en distribucion es lo mismo a decir que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} F_{X_n} = F_X} en todo punto donde la acumulada es buena. Es lo mismo que decir que las generadoras de momentos convergen (i.e. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X} ).
Con esto voy a usar la generadora de momentos de la distribucion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma(n, \lambda)} que es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^n}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M_{\frac{S_n-n/\lambda}{\sqrt{n}/\lambda}} (t) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} M_{\frac{S_n}{\sqrt{n}/\lambda}}(t) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} M_{S_n}(t\lambda/\sqrt{n}) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{\lambda}{\lambda-\frac{t\lambda}{\sqrt{n}}}\right)^n = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n = }
Si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{X_n} = M_X} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} \log(M_{X_n}) = \log(M_X)} pues es una funcion biyectiva en su dominio, entonces le tomo logaritmo a lo anterior
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log\left(e^{-\sqrt{n}} \left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right)^n \right) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} + n\log\left(\frac{1}{1-\frac{t}{\sqrt{n}}}\right) = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} + n\left[\log(1) - \log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right] = } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = }
Aqui hay que recordar (O saber hacer...) la expansion de Taylor para x<<1 Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sqrt{n} - n\log\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \approx -\sqrt{n} - n\left(\frac{t}{\sqrt{n}} - \frac{t^2}{2n}\right) }
Entonces queda que
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n\to\infty} M_{S_n} =\lim_{n\to\infty}\exp\left(-\sqrt{n}(1+t) + \frac{t^2}{2}\right) = \exp\left(\frac{t^2}{2}\right) = M_Z(t), Z\sim\mathcal{N}(0,1)}
Quedo demostrado entonces la convergencia en distribucion de la funcion original a una normal con media cero y varianza uno.
Ejercicio 5
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} una muestra de variables aleatorias con distribucion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{U}(1, \theta)} . Dar el estimador de maxima verosimilitud de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q(\theta)=\theta(1-\theta)} . Es consistente?
Ejercicio 6
Construya un intervalo de confianza de nivel Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\alpha} para el parametro Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p} de una Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Bi(2,p)} basado en una muestra Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} . Especifique si el intervalo propuesto es asintotico o exacto.
Parte B
- Sea una muestra aleatoria con media desconocida y varianza desconocida. Considere las hipotesis , . Proponga un test de nivel . Defina error de tipo I y error de tipo II. Halle una expresion para la funcion de potencia en funcion de alguna distribucion conocida.
- Proponga un ejercicio (Solo el enunciado, no lo resuelva) cuya resolucion requiera testear las hipotesis anteriores.