Diferencia entre revisiones de «Final 14/06/2019 (Probabilidad y Estadística)»

De Cuba-Wiki
Línea 33: Línea 33:


<math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n X_i\ \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}</math>
<math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n X_i\ \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}</math>
=== Ejercicio 3 ===
Sean <math>X_1, \dots, X_n</math>, <math>Y_1, \dots, Y_n</math> variables aleatorias independientes. Siendo <math>X_i</math> con distribucion geometrica de parametro <math>p</math> y <math>Y_i</math> con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:
<math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n X_i\ \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}</math>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed">
Posible resolución
<div class="mw-collapsible-content" style="overflow-x:scroll">
Sea <math>Z_i = X_i \mathbb{I}_{\{Y_i>0\}}</math>
Yo se que si <math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n</math> converge en probabilidad, lo hace a su esperanza por la Ley de Grandes Numeros:
<math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^n \overset{p}{\longrightarrow} E[Z]</math>
Si se cumple que <math>V[Z] < \infty</math>. Primero encuentro la esperanza y despues me preocupo por eso.
<math> E[Z]=E[X\ \mathbb{I}_{\{Y>0\}}] \overset{\overset{\perp\!\!\!\perp}{\downarrow}}{=} E[X]E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}E[\mathbb{I}_{\{Y>0\}}]=\frac{1}{p}P(Y>0)\overset{\overset{Y\sim\mathcal{N}(0,1)}{\downarrow}}{=}\frac{1}{2p}</math>
Para ver que la varianza es finita tengo que estudiar <math>E[Z^2]=E[X^2\ \cdot\ \left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]=E[X^2]\ E[\left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2]</math>
Yo se que la varianza de una geometrica es finita asi que el primer termino se puede calcular facil y es finito (Da <math>(2-p)/p^2</math>). Para el otro termino notemos que
<math>\left(\mathbb{I}_{\{Y>0\}}\right)^2 = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} \cdot \mathbb{I}_{\{Y>0\}} = \mathbb{I}_{\{Y>0\}} </math>
Porque multiplicar dos veces la misma indicadora no aporta nada, entonces ya esta calculada la <math>E[Z^2]</math> y entonces la <math>V[Z]=E[Z^2]-E^2[Z]</math> se puede calcular y da finita. Entoces puedo usar LGN, y el limite da lo que ya calcule arriba.
</div>
</div>


=== Ejercicio 4 ===
=== Ejercicio 4 ===

Revisión del 21:06 17 jun 2019

Plantilla:Back

Criterio de aprobaci ́on: El examen consta de dos partes A y B. En la Parte A, cada ejercicio resuelto correctamentesuma un punto. En la Parte B, el ejercicio suma 5 puntos. El final se aprueba con 6 puntos y NO podra sumar mas de 5 puntos de cada parte

Parte A

Ejercicio 1

Se tiene una urna con cuatro pelotitas negras y tres rojas. Se quitan tres sin reposicion.

  1. Dar la probabilidad de que la primera halla sido negra y la tercera roja.
  2. Si se sabe que la tercera fue roja. Cual es la probabilidad de que la segunda halla sido negra?.

Ejercicio 2

Sean , dos variables aleatorias independientes con distribuciones , . Demostrar que

Posible resolución

Ejercicio 3

Sean , variables aleatorias independientes. Siendo con distribucion geometrica de parametro y con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:

Ejercicio 3

Sean , variables aleatorias independientes. Siendo con distribucion geometrica de parametro y con distribucion normal de media 0 y varianza 1. Dar el valor limite de:

Posible resolución

Sea Yo se que si converge en probabilidad, lo hace a su esperanza por la Ley de Grandes Numeros:

Si se cumple que . Primero encuentro la esperanza y despues me preocupo por eso.

Para ver que la varianza es finita tengo que estudiar Yo se que la varianza de una geometrica es finita asi que el primer termino se puede calcular facil y es finito (Da ). Para el otro termino notemos que Porque multiplicar dos veces la misma indicadora no aporta nada, entonces ya esta calculada la y entonces la se puede calcular y da finita. Entoces puedo usar LGN, y el limite da lo que ya calcule arriba.

Ejercicio 4

Sea una sucesion de variables aleatorias tal que . Demuestre que

Converge en distribucion a una normal e indique con que parametros.

Ejercicio 5

Sea una muestra de variables aleatorias con distribucion . Dar el estimador de maxima verosimilitud de . Es consistente?

Ejercicio 6

Construya un intervalo de confianza de nivel para el parametro de una basado en una muestra . Especifique si el intervalo propuesto es asintotico o exacto.

Parte B

  1. Sea una muestra aleatoria con media desconocida y varianza desconocida. Considere las hipotesis , . Proponga un test de nivel . Defina error de tipo I y error de tipo II. Halle una expresion para la funcion de potencia en funcion de alguna distribucion conocida.
  2. Proponga un ejercicio (Solo el enunciado, no lo resuelva) cuya resolucion requiera testear las hipotesis anteriores.