Final 13/12/2018 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sean $A,B$ conjuntos tales que $A\subseteq B\subset \mathbb {R}$, $A$ no vacío y $B$ acotado inferiormente.

a) ¿Es cierto que $inf(B)\leq inf(A)$?

b) Si ademas $A\neq B$, ¿Es cierto que $inf(B)<inf(A)$?

Ejercicio 2

Sean $f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ dos transformaciones lineales. Sabiendo que $\bigtriangledown f(3,2)$ y $\bigtriangledown g(8,9)$ son linealmente independientes. Sea $D$ la region comprendida entre: $f(x,y)=3$, $f(x,y)=7$, $g(x,y)=-2$, $g(x,y)=2$. Calcular:

$\int _{D}e^{f(x,y)}g(x,y)dxdy$

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función diferenciable en $P$ probar que $f$ es continua en $P$

Ejercicio 4

Sea $f:A\subset \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{3}$, con $A$ abierto. Sea $P$ un punto critico donde $Hf_{P}$ es definido positivo. Probar que $P$ es un mínimo relativo estricto.