Final 07/09/2016 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Factorizar el polinomio $f(x)=x^{6}+2x^{5}+4x^{4}+x^{2}+2x+4$ en $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$, sabiendo que las raices octavas primitivas de 1 son raices de $f$.

Ejercicio 2

Sea $z\in G_{11},z\neq 1$. Hallar todos los $n\in \mathbb {N}$ tal que: $z^{2^{n}}={\bar {u}}^{5}$

Ejercicio 3

Hallar todos los $x\in \mathbb {Z}$ que satisfacen simultaneamente las siguientes 3 condiciones \begin{cases}

     x \equiv 2(11) \\
     x \equiv 3(7) \\ 
     50 \le x \le 80 
  \end{cases}

Ejercicio 4

Sea $I={n\in \mathbb {N} :1\leq n\leq 16}$ determinar cuantas funciones biyectivas $f:I\rightarrow I$ satisfacen: \\ $(\forall a\in I)f(a)\equiv a(8)$

Ejercicio 5

Probar que si $n\geq 4$ entonces: $\displaystyle {2n \choose n}>n2^{n}$