Final 04/08/2015 (Álgebra I)

(3 horas)

Ejercicio 1

Sea $\Re$ la relación en $\mathbb {Q} [X]$ dada por

$f\Re g\Leftrightarrow f\cdot g'=f'\cdot g$.

1. Decidir si $\Re$ es una relación de orden.
2. Encontrar todos los $f\in \mathbb {Q} [X]$ tales que $f\Re X$.

Ejercicio 2

Encontrar todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que:

$(cos({\frac {\pi }{3}})+sen({\frac {\pi }{3}})i)^{5n+1}=-1$

$(cos({\frac {2\pi }{5}})+sen({\frac {2\pi }{5}})i)^{2n-1}=1$

Ejercicio 3

Encontrar la cantidad de funciones biyectivas $f:\{1,2,\ldots ,18\}\to \{1,2,\ldots ,18\}$ tales que $f(a){\overset {9}{\equiv }}-a$.

Ejercicio 4

Sea $T:\mathbb {Q} [X]\to \mathbb {Q} [X]$ dada por $T_{(f)}=X^{2}\cdot f-(X+1)\cdot f'$. Probar que $T$ es inyectiva y no es sobreyectiva.