Final del 12/02/10 (Algoritmos III)

Ejercicio 1

a) Si el camino entre i y j tiene mas de una camino mínimo ¿Cual elige Floyd?. b) Adaptarlo para que calcule los caminos mas cortos tal que no pasen por un conjunto de nodos dado.

Ejercicio 2

G=(V,X) es Hamiltoniano entonces para todo $S\in V,S\neq \emptyset$

$W(G-S)\leq |S|$ (W(G) es la cantidad de componentes conexas de G)

a) Dar un ejemplo de que el teorema no es una condición suficiente para asegurar que el grafo es hamiltoniano.

b) Mostrar, usando el teorema, que el grafo de la figura no es hamiltoniano.(AGREGO EL DIBUJO DESPUES, NO LO TENGO A MANO)

Ejercicio 3

Un grafo G es coloreable en forma única si todo coloreo X(G) induce la misma partición de los vértices. Si G es coloreable de forma única entonces el subgrafo inducido por dos conjuntos cualesquiera de la partición inducida por el X(G)-Coloreo es un subgrafo conexo.

Ejercicio 4

Dado un flujo máximo que puede circular por una red donde $C_{e}$ es la capacidad máxima de la arista e y $F_{e}$ es el valor del flujo del arco e, decimos que el arco es vital máximo si al eliminarlo de la red se produce el máximo decrecimiento del valor del flujo (obtenido eliminando un solo arco). Decir si es V o F y justificar

a)Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de C_e. b)Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de F_e. c)Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de F_e entre los que pertenecen a un corte mínimo. d) Un arco que no pertenece a un corte de capacidad mínima no puede ser un arco vital máximo. e)Una red puede contener varios arcos vitales maximos

Ejercicio 5

a) ¿Que se puede decir de \pi_1 sabiendo que existe una reduccion polinomial de \pi_1 a \pi_2 y que \pi_2 \in P ? b) ¿Que se puede decir de \pi_1 sabiendo que existe una reduccion polinomial de \pi_1 a \pi_2 y que \pi_2 \in NP ? c) ¿Que se puede decir de \pi_1 sabiendo que existe una reduccion polinomial de \pi_1 a \pi_2 y que \pi_2 \in NP-Completo ? d) ¿Que se puede decir de \pi_2 sabiendo que existe una reduccion polinomial de \pi_1 a \pi_2 y que \pi_1 \in NP-Completo ? e) ¿Que se puede decir de \pi_2 sabiendo que existe una reduccion polinomial de \pi_1 a \pi_2 y que \pi_1 \in NP-Completo y \pi_2 \in NP?