Ejercicio 1
¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un que pertenezca a S.
esta en El punto mas cercano es
Ejercicio 2
Sean fijos. ¿Qué número real t hace que sea mínimo
Minimizar es lo mismo que minimizar pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion y minimizemosla:
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
Para poder afirmar que es minimo, en realidad falta calcular y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...
Ejercicio 3
La función es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si . Calcular y demostrar que (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...
Ejercicio 4
Sea . Se define el espacio columna de A como el subespacio de generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de generado por las filas de A.
Ejercicio 4. a
Probar que el espacio columna de A es .
.
.
.
.
Ejercicio 4. d
Probar que el espacio fila de A es .
La idea es que alguien pertenece a solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de , por lo que pertenece a . La vuelta es si pertenece a , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
Ejercicio 4. c
Probar que .
es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes.
Ejercicio 5
Sean u y v vectores ortogonales en entonces (Teorema de Pitágoras).
.
Como u y v son ortogonales, entonces y luego:
Ejercicio 6
Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio , entonces para todo .
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...
Ver
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html
o
http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html