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Línea 29: |
Línea 29: |
| '''Probar que el espacio columna de A es <math>Im(A)</math>.'''<BR> | | '''Probar que el espacio columna de A es <math>Im(A)</math>.'''<BR> |
| <math>v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x</math>. | | <math>v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x</math>. |
| <math>\Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}{n}A_{ij} wj</math>. | | <math>\Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}^{n}A_{ij} wj</math>. |
| <math>\Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}{n}wj A_{*j}</math>. | | <math>\Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}^{n}wj A_{*j}</math>. |
| <math>\Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A</math>. | | <math>\Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A</math>. |
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| ====Ejercicio 4. d==== | | ====Ejercicio 4. d==== |
| '''Probar que el espacio fila de A es <math>Nu(A)^{\bot}</math>.'''<BR> | | '''Probar que el espacio fila de A es <math>Nu(A)^{\bot}</math>.'''<BR> |
Ejercicio 1
¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un
que pertenezca a S.
esta en
El punto mas cercano es
Ejercicio 2
Sean
fijos. ¿Qué número real t hace que
sea mínimo
Minimizar
es lo mismo que minimizar
pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion
y minimizemosla:

Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.







Para poder afirmar que es minimo, en realidad falta calcular
y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...
Ejercicio 3
La función
es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si
. Calcular
y demostrar que
(ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...
Ejercicio 4
Sea
. Se define el espacio columna de A como el subespacio de
generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de
generado por las filas de A.
Ejercicio 4. a
Probar que el espacio columna de A es
.
.
.
.
.
Ejercicio 4. d
Probar que el espacio fila de A es
.
La idea es que alguien pertenece a
solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de
. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de
, por lo que pertenece a
. La vuelta es si pertenece a
, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
Ejercicio 4. c
Probar que
.
es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de
. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes
.
Ejercicio 5
Sean u y v vectores ortogonales en
entonces
(Teorema de Pitágoras).


.
Como u y v son ortogonales, entonces
y luego: 
Ejercicio 6
Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio
, entonces para todo
.
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...
Ver
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html
o
http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html