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Ejercicio 1
Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO
Ejercicio 2
Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:
i)
. NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii)
. NO ESTÁ INCLUIDO.
iii)
ESTÁ INCLUÍDO
iv)
. NO ESTÁ INCLUÍDO
v)
. NO ESTÁ INCLUÍDO.
Ejercicio 3
Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:
![{\displaystyle A\cap B=\left\{3,7,11\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b0dff4415ed6d8b6c1ce3b1e8ce00553467285)
![{\displaystyle A\cup B=\left\{-8,-5,-1,1,3,5,7,8,11\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23af24491f9ed790f869b07f287a9bcbf189575a)
![{\displaystyle A-B=\left\{1,5,8\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3b112dcdb60899da2264f313f67f6732fb45d9)
![{\displaystyle B-A=\left\{-1,-5,-8\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298ae80de28462472323cac70508cb203fc7d8dd)
![{\displaystyle A\triangle B=\left\{-8,-5,-1,1,5,8\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eddcc063ea5e02deae857659ce647cee4a4ccd72)
Ejercicio 4
Dado el conjunto referencial
hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por
Ejercicio 5
Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:
i)
ii) ![{\displaystyle (A\triangle B)-C=\left\{7,\left\{3\right\},10\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3738ba7553e5e69f22bbbd8fe5a35240be81b6d1)
iii) ![{\displaystyle (A-B)\cap C=\left\{-2,3\right\}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f5baa6636ef7fb090591537f7daa129657a012)
iv)
v)
vi)
Ejercicio 6
En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar
i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?
i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8
Ejercicio 8
Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:
i)
ii) ![{\displaystyle ((A\cap C')\cup (C\cap A'))\cap B'}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a59cc43a4f638db4335f82842658daffadad46)
iii)
iv)
Ejercicio 9
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.
i)
FALSO. Contraejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
C = {1, 3, 4}
ii)
VERDADERO. Demostración:
iii) ![{\displaystyle (A\triangle B)\subseteq (A\triangle C)\cup (B\triangle C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2d3fe065cf41b9c6c35642fc124ee5702cafd8)
VERDADERO. Demostración:
![{\displaystyle x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B)\Rightarrow }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d649e971c94982547b90ad901641a6efce965fd)
![{\displaystyle (x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor \;}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e94f749307b2078ea56b70222cf39853fe5f17c)
![{\displaystyle \lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52c0d83add7b6e81abe8e7677e71056bc55e5ba)
Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:
![{\displaystyle (x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4902a77b80bc93adf5d1eda35b61081d0ca745ef)
![{\displaystyle \lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db03acb2d4734554d8efb989f841d0d81265245c)
![{\displaystyle \lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faebf56d15f9d3df80e863b672832917450d30f9)
![{\displaystyle \lor \;(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\notin B\land x\in C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5d2c549fa16e7d4d22994bfe732e86d3f02070)
Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.
![{\displaystyle (1)(x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\in C)\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1adf5a4cb58209db1f2d91425ad0a7c9b621ff)
y:
![{\displaystyle (2)(x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\in C)\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e6f2f8acbaaba2b662894ced956044ee7c5acb)
Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:
![{\displaystyle (x\notin B\land ((x\in A\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in C)))\;\lor }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0975bc0e22f64f70b412cb4fcd139d491c8535)
![{\displaystyle \lor \;(x\in B\land ((x\notin A\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin C)))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70858cf8f23fdd8ff8b5a5da2dc000314bca9dba)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow (x\notin B\land x\in (A\triangle C))\;\lor \;(x\in B\land (x\in (A\triangle C))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720695c75ac4f5c6b0099057a9c77983695fb24f)
Por tautología:
![{\displaystyle x\in (A\triangle C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d525590b93647f259af08df991d11e0d8650776)
Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que
y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
iv) ![{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a93af5a9e180fd33a3198837d1e4a340d09c65d)
VERDADERO. Demostración:
v) ![{\displaystyle C\subseteq A\Rightarrow (B\cap C)\subseteq (A\triangle B)'}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9115467c6d801d8b71966c95fc76bc545e82dd)
VERDADERO. Demostración:
Sabemos por hipótesis que
, es decir, que
vi) ![{\displaystyle A\triangle B=\emptyset \Longleftrightarrow A=B}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c62ed2a70cf54b24b3cbba9784ea916a2f653f)
VERDADERO. Demostración:
![{\displaystyle x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cup (B-A))}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2de196f05e0e1f0b6337ffdd6cf7ddd3a90976)
![{\displaystyle A-B=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in A\land x\notin B\Longleftrightarrow A\subseteq B}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ba4d4822e542702f5f0cfc8447d964792879e9)
![{\displaystyle B-A=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in B\land x\notin A\Longleftrightarrow B\subseteq A}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d899a71e8e1237a7fc2e38267bc85136c25540)
vii) ![{\displaystyle (A\triangle B)-C)=(A-C)\triangle (B-C)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ffd380206664ecf84462f50daa16630b989db4)
VERDADERO. Demostración:
Uniendo conjuntos vacíos:
viii) ![{\displaystyle A\triangle \emptyset =A}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11064e9142c02fd87ddbe30506253354b45ba83a)
VERDADERO. Demostración:
Ejercicio 10
Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
Pero como
viii)
Sabemos que
implica
ix)
como
. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que
ix)
Como
Ejercicio 11
Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)